intlimits_{frac{1}{2}}^2 frac{1}{x} sin left( | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 \frac{1}{x} \sin \left( x - \frac{1}{x} \right) dx$.गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपय

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(A) माना $I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 \frac{1}{x} \sin \left( x - \frac{1}{x} \right) dx$.गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = \frac{1}{2}$ और $b = 2$,हमें $a+b = \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।$x = \frac{1}{t}$ प्रतिस्थापन करने पर,$dx = -\frac{1}{t^2} dt$ प्राप्त होता है।जब $x = \frac{1}{2}$,तो $t = 2$. जब $x = 2$,तो $t = \frac{1}{2}$.$I = \int\limits_2^{\frac{1}{2}} t \sin \left( \frac{1}{t} - t \right) \left( -\frac{1}{t^2} \right) dt$$I = \int\limits_2^{\frac{1}{2}} \frac{1}{t} \sin \left( t - \frac{1}{t} \right) dt$$I = -\int\limits_{\frac{1}{2}}^2 \frac{1}{t} \sin \left( t - \frac{1}{t} \right) dt$$I = -I$अतः,$2I = 0$,जिसका अर्थ है कि $I = 0$.

$\int\limits_{\frac{1}{2}}^2 \frac{1}{x} \sin \left( x - \frac{1}{x} \right) dx$ का मान किसके बराबर है?

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