P एक ऑर्थोगोनल आव्यूह है और A एक 4 के आवर्तका | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $Q = PAP^T$ और $P$ एक ऑर्थोगोनल आव्यूह है,इसलिए $P^TP = PP^T = I$.हमें $X = P^TQ^{2005}P$ ज्ञात करना है।सबसे पहले,$Q^2 = (PAP^T)(PA

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$A$

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(A) दिया गया है कि $Q = PAP^T$ और $P$ एक ऑर्थोगोनल आव्यूह है,इसलिए $P^TP = PP^T = I$.हमें $X = P^TQ^{2005}P$ ज्ञात करना है।सबसे पहले,$Q^2 = (PAP^T)(PAP^T) = PA(P^TP)AP^T = PA(I)AP^T = PA^2P^T$ की गणना करें।गणितीय आगमन द्वारा,$Q^n = PA^nP^T$।अतः,$Q^{2005} = PA^{2005}P^T$।इस मान को $X$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:$X = P^T(PA^{2005}P^T)P = (P^TP)A^{2005}(P^TP) = I \cdot A^{2005} \cdot I = A^{2005}$।चूंकि $A$ एक $4$ के आवर्तकाल वाला आवर्ती आव्यूह है,$A^{k+1} = A$ जहाँ $k=4$ है। अतः $A^5 = A$।हम $2005 = 4 	imes 501 + 1$ लिख सकते हैं।इसलिए,$A^{2005} = A^{4 	imes 501 + 1} = (A^4)^{501} \cdot A = I^{501} \cdot A = A$।अतः,$X = A$।

$P$ एक ऑर्थोगोनल आव्यूह है और $A$ एक $4$ के आवर्तकाल वाला आवर्ती आव्यूह है और $Q = PAP^T$ है,तो $X = P^TQ^{2005}P$ किसके बराबर होगा?

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मान लीजिए $A + 2B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 6 & -3 & 3 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix}$ और $2A - B = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 2 & -1 & 6 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ है,तो $Tr(A) - Tr(B)$ का मान क्या होगा?

निम्नलिखित में से कौन सा आव्यूह शून्यंभावी (nilpotent) आव्यूह है?

यदि $P$ और $Q$ समान कोटि के सममित आव्यूह हैं,तो $PQ - QP$ है

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