एक $1\,kg$ द्रव्यमान $600\,N/m$ बल नियतांक वाली स्प्रिंग से जुड़ा है और एक चिकनी क्षैतिज सतह पर स्थिर है,स्प्रिंग का दूसरा सिरा चित्रानुसार दीवार से बंधा है। $0.5\,kg$ का दूसरा द्रव्यमान $3\,m/s$ की गति से सतह पर पहले द्रव्यमान की ओर सरकता है। यदि द्रव्यमान पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर करते हैं,तो संयुक्त द्रव्यमान के दोलन का आयाम और आवर्तकाल ज्ञात कीजिए।

सरल आवर्त गति कर रही एक वस्तु का अधिकतम त्वरण $24 \, m/s^2$ और अधिकतम वेग $16 \, m/s$ है। सरल आवर्त गति का आयाम क्या है?

सरल आवर्त गति कर रहे एक कण का आयाम $6\, cm$ है। माध्य स्थिति से $2\, cm$ की दूरी पर इसका त्वरण $8\, cm/s^2$ है। कण की अधिकतम चाल ... $cm/s$ है।

एक ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली का आवर्तकाल छोटे दोलन कर रहे एक सरल लोलक के आवर्तकाल के समान है। अब, उन दोनों को $a = 5 \,m/s^2$ के त्वरण के साथ नीचे जा रही एक लिफ्ट में रखा जाता है। स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली के आवर्तकाल और लोलक के आवर्तकाल का अनुपात क्या होगा? (गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,m/s^2$ मानिए)

समान गोलकों और लंबाई वाले दो पेंडुलम को एक सामान्य आधार से इस प्रकार लटकाया गया है कि स्थिर स्थिति में दोनों गोलक संपर्क में हैं। $5^o$ के विस्थापन के बाद,गोलक $A$ को $t = 0$ पर स्थिर स्थिति से छोड़ा जाता है। इसके बाद,यह दूसरे गोलक $B$ के साथ प्रत्यास्थ रूप से टकराता है। $0 \leqslant t \leqslant T$ (जहाँ $T$ किसी भी पेंडुलम का आवर्तकाल है) के लिए समय के साथ पेंडुलम $A$ की ऊर्जा में परिवर्तन को दर्शाने वाला ग्राफ पहचानें।

फेज स्पेस आरेख सभी प्रकार की गतिशील समस्याओं के विश्लेषण में उपयोगी उपकरण हैं। जब प्रारंभिक स्थिति और संवेग बदलते हैं तो गति में होने वाले परिवर्तनों का अध्ययन करने में ये विशेष रूप से उपयोगी होते हैं। यहाँ हम एक आयाम में कुछ सरल गतिशील प्रणालियों पर विचार करते हैं। ऐसी प्रणालियों के लिए, फेज स्पेस एक तल है जिसमें स्थिति को क्षैतिज अक्ष पर और संवेग को ऊर्ध्वाधर अक्ष पर आलेखित किया जाता है। फेज स्पेस आरेख इस तल में $x(t)$ बनाम $p(t)$ वक्र है। वक्र पर तीर समय के प्रवाह को इंगित करता है। उदाहरण के लिए, स्थिर वेग से गति करने वाले कण के लिए फेज स्पेस आरेख चित्र में दिखाए अनुसार एक सीधी रेखा है। हम उस चिह्न परिपाटी का उपयोग करते हैं जिसमें ऊपर की ओर (या दाईं ओर) स्थिति या संवेग धनात्मक है और नीचे की ओर (या बाईं ओर) ऋणात्मक है।
$1.$ जमीन से ऊपर की ओर फेंकी गई गेंद के लिए फेज स्पेस आरेख कौन सा है?
$2.$ सरल आवर्त गति के लिए फेज स्पेस आरेख मूल बिंदु पर केंद्रित एक वृत्त है। चित्र में, दो वृत्त एक ही ऑसिलेटर का प्रतिनिधित्व करते हैं लेकिन अलग-अलग प्रारंभिक स्थितियों के लिए, और $E_1$ और $E_2$ क्रमशः कुल यांत्रिक ऊर्जाएं हैं। तो:
$(A) E_1 = \sqrt{2} E_2$
$(B) E_1 = 2 E_2$
$(C) E_1 = 4 E_2$
$(D) E_1 = 16 E_2$
$3.$ पानी में डूबे हुए द्रव्यमान के साथ स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली पर विचार करें, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। इस प्रणाली के एक चक्र के लिए फेज स्पेस आरेख कौन सा है?
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।