एक फलन $f(x) = \frac{5^{x}}{5^{x} + \sqrt{5}}$ द्वारा दिया गया है,तो श्रेणी $f\left(\frac{1}{20}\right) + f\left(\frac{2}{20}\right) + f\left(\frac{3}{20}\right) + \ldots + f\left(\frac{39}{20}\right)$ का योग ....... के बराबर है।

फलन $f(x) = x^{\frac{1}{\ln x}}$ है:

मान लीजिए $A = \{1, 2, 3, 4\}$ और $B = \{1, 4, 9, 16\}$ है। तो $1 \in f(A)$ वाले अनेक-एक (many-one) फलनों $f: A \rightarrow B$ की संख्या ज्ञात कीजिए:

तीन प्रकार के तरल $X, Y, Z$ हैं। तीन जार $J_1, J_2, J_3$ में क्रमशः $100 \, ml$ तरल $X, Y, Z$ हैं। एक ऑपरेशन में निम्नलिखित क्रम में तीन चरण शामिल हैं:
- $J_1$ में तरल को हिलाएं और $J_1$ से $10 \, ml$ तरल $J_2$ में स्थानांतरित करें।
- $J_2$ में तरल को हिलाएं और $J_2$ से $10 \, ml$ तरल $J_3$ में स्थानांतरित करें।
- $J_3$ में तरल को हिलाएं और $J_3$ से $10 \, ml$ तरल $J_1$ में स्थानांतरित करें।
ऑपरेशन को चार बार करने के बाद,मान लीजिए कि $J_1$ में $X, Y, Z$ की मात्रा क्रमशः $x, y, z$ है। तब,

माना $f:[0,2] \rightarrow R$ एक फलन है जो $f(x)=(3-\sin(2\pi x)) \sin(\pi x-\frac{\pi}{4})-\sin(3\pi x+\frac{\pi}{4})$ द्वारा परिभाषित है। यदि $\alpha, \beta \in[0,2]$ इस प्रकार हैं कि $\{x \in[0,2]: f(x) \geq 0\}=[\alpha, \beta]$,तो $\beta-\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f: R \rightarrow [-1, 1]$ और $g: R \rightarrow A$ दो आच्छादक (surjective) प्रतिचित्रण हैं और $\sin \left(g(x) - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{f(x)}{2} \sqrt{4 - f^2(x)}$ है,तो $A =$