एक फलन f जो सभी x के लिए f'( sin x ) = cos^2 | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $f'(\sin x) = \cos^2 x$. माना $t = \sin x$,तब $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - t^2$. अतः,$f'(t) = 1 - t^2$. दोनों पक्षों का $t$ के सा

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$f(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{1}{3}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि $f'(\sin x) = \cos^2 x$. माना $t = \sin x$,तब $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - t^2$. अतः,$f'(t) = 1 - t^2$. दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है: $f(t) = \int (1 - t^2) dt = t - \frac{t^3}{3} + C$. दिया गया है कि $f(1) = 1$,इसलिए $t = 1$ रखने पर: $1 = 1 - \frac{1^3}{3} + C \Rightarrow 1 = 1 - \frac{1}{3} + C \Rightarrow C = \frac{1}{3}$. इस प्रकार,$f(t) = t - \frac{t^3}{3} + \frac{1}{3}$. $t$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

एक फलन $f$ जो सभी $x$ के लिए $f'( \sin x ) = \cos^2 x$ और $f(1) = 1$ को संतुष्ट करता है,वह है :

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यदि $f(x) = mx + c$,$f(0) = 1$,और $f'(0) = 1$ है,तो $f(2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\frac{d}{dx} \{ e^x \log(1 + x^2) \} = $

$f(x) = x|x|$ का अवकलज क्या है?

मान लीजिए $f_1(x) = e^x, f_2(x) = e^{f_1(x)}, \ldots, f_{n+1}(x) = e^{f_n(x)}$ सभी $n \geq 1$ के लिए। तो किसी भी निश्चित $n$ के लिए, $\frac{d}{dx} f_n(x)$ है:

निम्नलिखित फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए: $3 \cot x + 5 \operatorname{cosec} x$

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