એક માણસ રેસ-કોર્સની આસપાસ દોડતી વખતે નોંધે છે કે તેનાથી બે ફ્લેગ-પોસ્ટના અંતરનો સરવાળો હંમેશા $10 \ m$ છે અને ફ્લેગ-પોસ્ટ વચ્ચેનું અંતર $8 \ m$ છે. તેના દ્વારા ઘેરાયેલા માર્ગનું ક્ષેત્રફળ ચોરસ મીટરમાં કેટલું હશે ($\pi$ માં)?

ધારો કે $\frac{x^2}{f(a^2 + 7a + 3)} + \frac{y^2}{f(3a + 15)} = 1$ એ y-અક્ષ પર મુખ્ય અક્ષ ધરાવતું ઉપવલય દર્શાવે છે, જ્યાં $f$ એ $R$ પર ઘટતું વિધેય છે. જો $a$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો ગણ $R - [\alpha, \beta]$ હોય, તો $\alpha^2 + \beta^2$ ની કિંમત શોધો:

ઉપવલય $2x^2 + 3y^2 - 4x - 12y + 13 = 0$ ના નાભિઓ કયા છે?

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના નાભિલંબના એક અંત્યબિંદુ આગળનો અભિલંબ ગૌણ અક્ષના એક અંત્યબિંદુમાંથી પસાર થતો હોય,તો:

ઉપવલય $25x^2 + 4y^2 + 100x - 4y + 100 = 0$ ના નાભિઓ કયા છે?

જો $\beta$ એ ઉપવલય $x^2 + 3y^2 = 9$ ના બિંદુઓ $(3\cos \theta, \sqrt{3} \sin \theta)$ અને $(-3\sin \theta, \sqrt{3} \cos \theta)$ આગળના અભિલંબ વચ્ચેનો એક ખૂણો હોય,જ્યાં $\theta \in (0, \pi/2)$,તો $\frac{2 \cot \beta}{\sin 2\theta}$ ની કિંમત શોધો.