$m$ द्रव्यमान का एक कण $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर इस प्रकार गति कर रहा है कि उसका अभिकेंद्र त्वरण $a$ समय $t$ के साथ $a = k^{2} r t^{2}$ के अनुसार बदलता है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है। कण पर कार्य करने वाले बल द्वारा प्रदान की गई शक्ति क्या है?

एक प्रक्षेप्य को $xy$ तल में मूलबिंदु से ($x$ क्षैतिज है और $y$ ऊर्ध्वाधर ऊपर की दिशा है) $x$-अक्ष से $\alpha$ कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है। यदि मूलबिंदु से इसकी दूरी $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ को $x$ के विरुद्ध आलेखित किया जाता है,तो परिणामी वक्र प्रक्षेपण कोणों $\alpha_1$ और $\alpha_2$ के लिए अलग-अलग व्यवहार दिखाते हैं जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। $\alpha_1$ के लिए,$r(x)$ $x$ के साथ बढ़ता रहता है,जबकि $\alpha_2$ के लिए,$r(x)$ बढ़ता है और अधिकतम तक पहुँचता है,फिर घटता है और दोबारा बढ़ने से पहले एक न्यूनतम से गुजरता है। इन दो स्थितियों के बीच का परिवर्तन एक क्रांतिक कोण $\alpha_c$ (जहाँ $\alpha_1 < \alpha_c < \alpha_2$) पर होता है। $\alpha_c$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $v_0$ प्रक्षेप्य की प्रारंभिक गति है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है)।

$m$ द्रव्यमान की एक वस्तु को क्षैतिज के साथ $45^{\circ}$ के कोण पर $v$ के प्रारंभिक वेग से प्रक्षेपित किया जाता है। यदि वायु प्रतिरोध नगण्य है,तो जमीन से टकराते समय संवेग में कुल परिवर्तन क्या होगा?

List-$I$ चार प्रणालियों का वर्णन करता है,जिनमें से प्रत्येक में दो कण $A$ और $B$ सापेक्ष गति में हैं। List-$II$ समय $t = \frac{\pi}{3} s$ पर उनके सापेक्ष वेगों के संभावित परिमाण ($m s^{-1}$ में) देता है। निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प सही है? (तालिका देखें)

एक कण का प्रारंभिक वेग $(\hat{i} + \hat{j}) \, m/s$ और त्वरण $(\hat{i} + \hat{j}) \, m/s^2$ है। $10 \, s$ के बाद इसकी चाल क्या होगी?

एक पिंड को $t=0$ पर $10 \ m/s$ के वेग से क्षैतिज के साथ $60^{\circ}$ के कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है। $t=1 \ s$ पर इसके प्रक्षेप पथ की वक्रता त्रिज्या $R$ है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानते हुए और गुरुत्वीय त्वरण $g=10 \ m/s^2$ लेते हुए,$R$ का मान है: ($m$ में)