એક વ્યક્તિએ $4500$ ચલણી નોટો ગણવાની છે. ધારો કે $a_n$ એ $n^{th}$ મિનિટમાં ગણેલી નોટોની સંખ્યા દર્શાવે છે. જો $a_1 = a_2 = \ldots = a_{10} = 150$ અને $a_{10}, a_{11}, \ldots$ એ સામાન્ય તફાવત $-2$ સાથે $A.P.$ માં હોય,તો બધી નોટો ગણવા માટે તેને લાગતો સમય ............... $minutes$ છે.

જો $\log 2$,$\log (2^x - 1)$ અને $\log (2^x + 3)$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય,તો $x$ નું મૂલ્ય શોધો:

બે ગણ $A$ અને $B$ ધ્યાનમાં લો,જેમાં દરેક $A.P.$ માં ત્રણ સંખ્યાઓ ધરાવે છે. ધારો કે $A$ ના ઘટકોનો સરવાળો અને ગુણાકાર અનુક્રમે $36$ અને $p$ છે અને $B$ ના ઘટકોનો સરવાળો અને ગુણાકાર અનુક્રમે $36$ અને $q$ છે. ધારો કે $d$ અને $D$ એ $A$ અને $B$ માં $A.P.$ ના સામાન્ય તફાવત છે,જેમ કે $D = d + 3, d > 0$. જો $\frac{p + q}{p - q} = \frac{19}{5}$ હોય,તો $p - q$ ની કિંમત શોધો.

પ્રથમ પદ $100$,અંતિમ પદ $199$ અને પૂર્ણાંક સામાન્ય તફાવત ધરાવતી વિવિધ $A.P.$ રચવામાં આવે છે. ઓછામાં ઓછા $3$ અને વધુમાં વધુ $33$ પદો ધરાવતી આવી તમામ $A.P.$ ના સામાન્ય તફાવતોનો સરવાળો કેટલો થાય?

ધન પૂર્ણાંકોની એવી $5$-ટપલ્સ $(a, b, c, d, e)$ ની સંખ્યા શોધો કે જેથી:
$I.$ $a, b, c, d, e$ એ બહિર્મુખ પંચકોણના ખૂણાઓના માપ અંશમાં છે.
$II.$ $a \leq b \leq c \leq d \leq e$.
$III.$ $a, b, c, d, e$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.

ધારો કે $a, b, c, d, e$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં રહેલી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે,જેથી $a+b+c+d+e$ એ કોઈ પૂર્ણાંકનો ઘન છે અને $b+c+d$ એ કોઈ પૂર્ણાંકનો વર્ગ છે. તો $c$ ના અંકોની સંખ્યાનું ન્યૂનતમ શક્ય મૂલ્ય કેટલું છે?