अवकल समीकरण {left( {frac{{dy}}{{dx}}} right)^ | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण ${\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^2} - x\frac{{dy}}{{dx}} + y = 0$ है। इसे $y = x\frac{{dy}}{{dx}} - {\left( {\frac{{dy}}{

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$y = 2x - 4$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण ${\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^2} - x\frac{{dy}}{{dx}} + y = 0$ है। इसे $y = x\frac{{dy}}{{dx}} - {\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^2}$ के रूप में लिखा जा सकता है। माना $\frac{{dy}}{{dx}} = p$ है। तब समीकरण $y = px - {p^2}$ हो जाता है। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{{dy}}{{dx}} = p + x\frac{{dp}}{{dx}} - 2p\frac{{dp}}{{dx}}$. चूंकि $\frac{{dy}}{{dx}} = p$,इसलिए $p = p + (x - 2p)\frac{{dp}}{{dx}}$. यह सरल होकर $(x - 2p)\frac{{dp}}{{dx}} = 0$ हो जाता है। स्थिति $1$: $\frac{{dp}}{{dx}} = 0$,जिसका अर्थ है $p = c$ (एक स्थिरांक)। $p = c$ को $y = px - {p^2}$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें व्यापक हल $y = cx - {c^2}$ प्राप्त होता है। यदि $c = 2$ है,तो $y = 2x - {2^2}$,अर्थात $y = 2x - 4$ प्राप्त होता है। अतः,$y = 2x - 4$ एक हल है।

अवकल समीकरण ${\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^2} - x\frac{{dy}}{{dx}} + y = 0$ का एक हल है

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