બધા જ વાસ્તવિક મૂલ્યો $p, q$ માટે જેથી સમીકરણ સંહતિ $\begin{cases} 2x + py + 6z = 8 \\ x + 2y + qz = 5 \\ x + y + 3z = 4 \end{cases}$ નો કોઈ ઉકેલ ન હોય તે છે

સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $x+y+z=4\mu$,$x+2y+2\lambda z=10\mu$,અને $x+3y+4\lambda^2 z=\mu^2+15$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$. નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું $\text{નથી}$?

ધારો કે $S$ એ $\lambda$ ના તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યોનો સમૂહ દર્શાવે છે કે જેથી સમીકરણોની સિસ્ટમ $\lambda x + y + z = 1$,$x + \lambda y + z = 1$,અને $x + y + \lambda z = 1$ અસંગત છે. તો,$\sum_{\lambda \in S} (|\lambda|^2 + |\lambda|)$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો કિંમતો $x=\alpha, y=\beta, z=\gamma$ એ ત્રણેય સમીકરણો $x+2y+3z=4$,$3x+y+z=3$ અને $x+3y+3z=2$ નું સમાધાન કરે,તો $3\alpha+\gamma=$

વિધાન $1$: જો સમીકરણોની સંહતિ $x + ky + 3z = 0, 3x + ky - 2z = 0, 2x + 3y - 4z = 0$ ને શૂન્યેતર ઉકેલ હોય,તો $k$ નું મૂલ્ય $\frac{31}{2}$ છે.
વિધાન $2$: ત્રણ ચલ ધરાવતી ત્રણ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને શૂન્યેતર ઉકેલ હોય જો સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય.

જો સમીકરણોની સિસ્ટમ $\begin{bmatrix} \alpha & -1 & -1 \\ 1 & -\alpha & -1 \\ 1 & -1 & -\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha-1 \\ \alpha-1 \\ \alpha-1 \end{bmatrix}$ અસંગત હોય, તો $\alpha=$