$(3, 1)$ અને $(1, 1)$ પર નાભિ ધરાવતું ઉપવલય $(1, 3)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી થાય?

એવા બિંદુનો બિંદુપથ શોધો કે જેનું બિંદુઓ $(0, 2)$ અને $(0, -2)$ થી અંતરનો સરવાળો $6$ થાય.

જો ઉપવલય $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ અને વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=4b$ $(b > 4)$ ના છેદબિંદુઓ વક્ર $y^{2}=3x^{2}$ પર આવેલા હોય,તો $b$ ની કિંમત શોધો:

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2 + 1} + \frac{y^2}{a^2 + 2} = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રીતા $\frac{1}{\sqrt{6}}$ હોય,તો ઉપવલયના નાભિલંબની લંબાઈ શોધો.

ઉપવલય $9x^2 + 5y^2 - 30y = 0$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

ધારો કે $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b$ એ $F_1$ અને $F_2$ નાભિ ધરાવતું ઉપવલય છે. ધારો કે $AO$ એ તેની અર્ધ-ગૌણ અક્ષ છે,જ્યાં $O$ એ ઉપવલયનું કેન્દ્ર છે. રેખાઓ $AF_1$ અને $AF_2$ ને લંબાવતા,તે ઉપવલયને અનુક્રમે $B$ અને $C$ બિંદુઓ પર ફરીથી છેદે છે. ધારો કે $\triangle ABC$ સમબાજુ ત્રિકોણ છે. તો,ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.