એવા બિંદુનો બિંદુપથ શોધો કે જેનું બિંદુઓ $(0, 2)$ અને $(0, -2)$ થી અંતરનો સરવાળો $6$ થાય.

ઉપવલયની નાભિઓ $(2,5)$ અને $(2,-3)$ છે અને ઉત્કેન્દ્રિયતા $\frac{4}{5}$ છે,તો તેના નાભિલંબની લંબાઈ શોધો.

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a>b$,ની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{1}{4}$ છે. જો આ ઉપવલય બિંદુ $\left(-4 \sqrt{\frac{2}{5}}, 3\right)$ માંથી પસાર થાય,તો $a^{2}+b^{2}$ ની કિંમત શોધો.

જો ઉપવલય $x^2+2y^2=2$ ને સ્પર્શકો દોરવામાં આવે,તો યામ અક્ષો વચ્ચે સ્પર્શકો દ્વારા બનતા અંતઃખંડોના મધ્યબિંદુઓનો બિંદુપથ શોધો.

ધારો કે $F_1$ અને $F_2$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ ના નાભિઓ છે. $F_1$ માંથી નીકળતું કિરણ ઉપવલયના અરીસા પર બિંદુ $P$ આગળ અથડાય છે અને પરાવર્તિત થાય છે. તો આપાત કિરણ અને પરાવર્તિત કિરણ વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકનું સમીકરણ શું હશે?

ધારો કે $P(x_1, y_1)$ અને $Q(x_2, y_2)$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ પરના બે ભિન્ન બિંદુઓ છે,જેથી $y_1 > 0$ અને $y_2 > 0$ થાય. ધારો કે $C$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=9$ દર્શાવે છે,અને $M$ એ બિંદુ $(3,0)$ છે. ધારો કે રેખા $x=x_1$ એ $C$ ને $R$ માં છેદે છે,અને રેખા $x=x_2$ એ $C$ ને $S$ માં છેદે છે,જેથી $R$ અને $S$ ના $y$-યામ ધન હોય. ધારો કે $\angle ROM = \frac{\pi}{6}$ અને $\angle SOM = \frac{\pi}{3}$,જ્યાં $O$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે. ધારો કે $|XY|$ એ રેખાખંડ $XY$ ની લંબાઈ દર્શાવે છે. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન (વિધાનો) સાચું છે?
$(A)$ $P$ અને $Q$ ને જોડતી રેખાનું સમીકરણ $2x+3y=3(1+\sqrt{3})$ છે
$(B)$ $P$ અને $Q$ ને જોડતી રેખાનું સમીકરણ $2x+y=3(1+\sqrt{3})$ છે
$(C)$ જો $N_2=(x_2, 0)$ હોય,તો $3|N_2Q|=2|N_2S|$
$(D)$ જો $N_1=(x_1, 0)$ હોય,તો $9|N_1P|=4|N_1R|$