दिए गए समीकरण (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण $(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0$ है। पदों का विस्तार करने पर: $(x^2 - (a+b)x + ab) + (x^2 - (b+c)x + bc) + (

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वास्तविक

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(C) दिया गया समीकरण $(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0$ है। पदों का विस्तार करने पर: $(x^2 - (a+b)x + ab) + (x^2 - (b+c)x + bc) + (x^2 - (c+a)x + ca) = 0$. समान पदों को जोड़ने पर,हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: $3x^2 - 2(a + b + c)x + (ab + bc + ca) = 0$. द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के लिए,विविक्तकर $D = B^2 - 4AC$ होता है। यहाँ,$A = 3$,$B = -2(a + b + c)$,और $C = (ab + bc + ca)$ है। $D = [-2(a + b + c)]^2 - 4(3)(ab + bc + ca)$ $D = 4(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca) - 12(ab + bc + ca)$ $D = 4(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ $D = 2[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$. चूंकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए $D \ge 0$ है। अतः,मूल हमेशा वास्तविक होते हैं।

दिए गए समीकरण $(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0$ के दोनों मूल हमेशा होते हैं

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