એક ઉપવલય (ellipse) ધ્યાનમાં લો,જેનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર છે અને તેની મુખ્ય અક્ષ $x-$ અક્ષ પર છે. જો તેની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) $\frac{3}{5}$ હોય અને તેના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $6$ હોય,તો ઉપવલયમાં અંતર્ગત ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં),જેના શિરોબિંદુઓ ઉપવલયના શિરોબિંદુઓ છે,તે શોધો.

ધારો કે $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b$ એ $F_1$ અને $F_2$ નાભિ ધરાવતું ઉપવલય છે. ધારો કે $AO$ એ તેની અર્ધ-ગૌણ અક્ષ છે,જ્યાં $O$ એ ઉપવલયનું કેન્દ્ર છે. રેખાઓ $AF_1$ અને $AF_2$ ને લંબાવતા,તે ઉપવલયને અનુક્રમે $B$ અને $C$ બિંદુઓ પર ફરીથી છેદે છે. ધારો કે $\triangle ABC$ સમબાજુ ત્રિકોણ છે. તો,ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

$x = 2(\cos t + \sin t), y = 5(\cos t - \sin t)$ દ્વારા દર્શાવતો શાંકવ ..... છે.

જો રેખા $x \cos \alpha + y \sin \alpha = 2 \sqrt{3}$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{8} = 1$ નો સ્પર્શક હોય અને $\alpha$ લઘુકોણ હોય,તો $\alpha = $

જો $S$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ નું ધન $X$-અક્ષ પર આવેલું નાભિ હોય અને $P(\theta)$ એ ઉપવલય પરનું એવું બિંદુ હોય કે જેથી $SP=1$ થાય,તો $\cos \theta=$

બિંદુ $(1, 1)$ માંથી ઉપવલય $S \equiv x^2 + 4y^2 - 2x + 8y + 1 = 0$ પર સ્પર્શકો દોરવામાં આવે છે. જો $m_1, m_2$ $(m_1 > m_2)$ આ સ્પર્શકોના ઢાળ હોય,તો આપેલ ઉપવલયના સંદર્ભમાં બિંદુ $P(m_1, m_2)$: