वृत्त C: x^2+y^2=4 और परवलय P: y^2=8x पर विचा | vedclass

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Question

(A) माना परवलय $P: y^2=8x$ पर बिंदु $(x_1, y_1) = (2t^2, 4t)$ है।वृत्त $C: x^2+y^2=4$ की जीवा का समीकरण जो $(x_1, y_1)$ पर समद्विभाजित होती है,$T=S_1$

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$80$

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(A) माना परवलय $P: y^2=8x$ पर बिंदु $(x_1, y_1) = (2t^2, 4t)$ है।वृत्त $C: x^2+y^2=4$ की जीवा का समीकरण जो $(x_1, y_1)$ पर समद्विभाजित होती है,$T=S_1$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ का मान $xx_1+yy_1-4$ है और $S_1$ का मान $x_1^2+y_1^2-4$ है।अतः,$xx_1+yy_1 = x_1^2+y_1^2$.चूंकि यह जीवा $(\alpha, 0)$ से गुजरती है,हमारे पास $\alpha x_1 = x_1^2+y_1^2$ है।$x_1=2t^2$ और $y_1=4t$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\alpha(2t^2) = (2t^2)^2 + (4t)^2 = 4t^4 + 16t^2$ प्राप्त होता है।$2t^2$ से विभाजित करने पर ($t 
eq 0$ मानते हुए),हमें $\alpha = 2t^2 + 8$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $t^2 = \frac{\alpha-8}{2}$।जीवा के वृत्त के भीतर अस्तित्व के लिए,मध्य बिंदु $(x_1, y_1)$ वृत्त के अंदर होना चाहिए,इसलिए $x_1^2+y_1^2 $x_1^2+y_1^2 = \alpha x_1 = \alpha(2t^2)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमारे पास $2\alpha t^2 $t^2 = \frac{\alpha-8}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\alpha \left(\frac{\alpha-8}{2}ight) $\alpha^2 - 8\alpha - 4 = 0$ के मूल $\alpha = \frac{8 \pm \sqrt{64+16}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{5}$ हैं।अतः,$4-2\sqrt{5} इसके अलावा,चूंकि $t^2 > 0$,हमारे पास $\frac{\alpha-8}{2} > 0$ है,इसलिए $\alpha > 8$।इन दोनों को मिलाने पर,$\alpha \in (8, 4+2\sqrt{5})$।अतः,$p=8$ और $q=4+2\sqrt{5}$।तब $(2q-p)^2 = (2(4+2\sqrt{5})-8)^2 = (8+4\sqrt{5}-8)^2 = (4\sqrt{5})^2 = 16 	imes 5 = 80$।

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