फलन f(x) = begin{cases} frac{x}{[x]} & text{य | vedclass

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Question

(B) $x = 2$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$,दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ और $x = 2$ पर फलन का मान ज्ञात करते हैं।$1$. बाएँ पक

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में isolated point removable discontinuity है

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(B) $x = 2$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$,दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ और $x = 2$ पर फलन का मान ज्ञात करते हैं।$1$. बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$: $\lim_{x 	o 2^-} f(x) = \lim_{x 	o 2^-} \frac{x}{[x]}$. चूँकि $1 \leqslant x $2$. दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$: $\lim_{x 	o 2^+} f(x) = \lim_{x 	o 2^+} \sqrt{6-x} = \sqrt{6-2} = \sqrt{4} = 2$.$3$. फलन का मान: $f(2) = 1$.यहाँ $\lim_{x 	o 2^-} f(x) = \lim_{x 	o 2^+} f(x) = 2$ है,लेकिन $f(2) = 1$ है। चूँकि सीमा का अस्तित्व है लेकिन वह फलन के मान के बराबर नहीं है,इसलिए इस प्रकार की असांतत्यता को removable discontinuity (विशेष रूप से,isolated point removable discontinuity) कहा जाता है।

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यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = \begin{cases} \frac{x + 2}{x^2 + 3 x + 2}, & x \in R - \{-1, -2\} \\ -1, & x = -2 \\ 0, & x = -1 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है, तो $f$ किस समुच्चय पर सतत है?

यदि फलन $f(x) = \begin{cases} 5, & \text{यदि } x \le 2 \\ ax + b, & \text{यदि } 2 < x < 10 \\ 21, & \text{यदि } x \ge 10 \end{cases}$ एक सतत फलन है,तो $a$ और $b$ के मान ज्ञात कीजिए।

$f(x) = \begin{cases} [x^2] - [-x^2], & x \neq 3 \\ k, & x = 3 \end{cases}$ $x = 3$ पर सतत है,तो $k = $ ज्ञात कीजिए,जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन है।

मान लीजिए कि फलन $f$ को $x \neq 0$ के लिए $f(x) = \frac{x - |x|}{x}$ और $f(0) = 2$ द्वारा परिभाषित किया गया है। तब $f$ है:

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