सीमा का मान ज्ञात कीजिए: $\lim_{n \to \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{n}{n^2 + r^2}$

निश्चित समाकलन की परिभाषा के अनुसार,$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1^2}{1^3+n^3}+\frac{2^2}{2^3+n^3}+\ldots+\frac{n^2}{n^3+n^3}\right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{77}+2^{77}+\ldots+n^{77}}{n^{78}} = $

$n$ के पर्याप्त बड़े मान के लिए,प्रथम $n$ धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूलों का योग,अर्थात $\sqrt{1} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \dots + \sqrt{n}$,लगभग किसके बराबर है?

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3}{n} \left\{ 4 + \left( 2 + \frac{1}{n} \right)^2 + \left( 2 + \frac{2}{n} \right)^2 + \dots + \left( 3 - \frac{1}{n} \right)^2 \right\}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$a \in \mathbb{R}$ (सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय) के लिए,$a \neq -1$,यदि $\lim_{n \to \infty} \frac{1^a + 2^a + \dots + n^a}{(n+1)^{a-1}[(na+1) + (na+2) + \dots + (na+n)]} = \frac{1}{60}$ है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए: