मान ज्ञात कीजिए: $\frac{d}{d x}\left[e^{\tan ^{-1} x+\cot ^{-1} x}+\frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}\right]$

यदि $f(x) = \frac{\sin^2 x}{1+\cot x} + \frac{\cos^2 x}{1+\tan x}$ है,तो $f^{\prime}\left(\frac{\pi}{6}\right)$ का मान किसके बराबर है?

मान लीजिए $f: (-1, 1) \to R$ एक अवकलनीय फलन है जहाँ $f(0) = -1$ और $f'(0) = 1$ है। मान लीजिए $g(x) = [f(2f(x) + 2)]^2$ है। तो $g'(0) = $

यदि $y = \log_{e} x^3 + 3 \sin^{-1} x + k x^2$ और $y'(\frac{1}{2}) = 2 \sqrt{3}$ है,तो $k =$

यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = \begin{cases} \frac{x - 2}{x^2 - 3x + 2}, & x \in R - \{1, 2\} \\ 2, & x = 1 \\ 1, & x = 2 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = $

List-$I$ के फलनों को List-$II$ में दिए गए उनके अवकलजों के साथ सुमेलित कीजिए।

List-$I$	List-$II$
$A$. $\sec^{-1} x$	$I$. $\frac{1}{1-x^2}, x \in (-1, 1)$
$B$. $\tanh^{-1} x$	$II$. $\frac{-1}{|x| \sqrt{x^2+1}}, x \neq 0$
$C$. $\coth^{-1} x$	$III$. $\frac{1}{|x| \sqrt{x^2-1}}, |x| > 1$
$D$. $\operatorname{cosech}^{-1} x$	$IV$. $\frac{1}{1-x^2}, x \in R - [-1, 1]$
	$V$. $\frac{-1}{|x| \sqrt{1-x^2}}, |x| < 1, x \neq 0$