વિધેય $g(x) = \frac{1}{x^{2}+2}$ માટે સ્થાનિક મહત્તમ અને સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્યો શોધો.

(A) આપેલ વિધેય: $g(x) = \frac{1}{x^{2}+2}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને વિકલન $g'(x)$ શોધીએ છીએ:
$g'(x) = \frac{d}{dx}(x^{2}+2)^{-1} = -1(x^{2}+2)^{-2} \cdot (2x) = \frac{-2x}{(x^{2}+2)^{2}}$.
$g'(x) = 0$ લેતા:
$\frac{-2x}{(x^{2}+2)^{2}} = 0 \Rightarrow -2x = 0 \Rightarrow x = 0$.
હવે,આપણે પ્રથમ વિકલન કસોટીનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$x < 0$ માટે,$x = -1$ લેતા: $g'(-1) = \frac{-2(-1)}{((-1)^{2}+2)^{2}} = \frac{2}{9} > 0$.
$x > 0$ માટે,$x = 1$ લેતા: $g'(1) = \frac{-2(1)}{(1^{2}+2)^{2}} = \frac{-2}{9} < 0$.
જેમ કે $x = 0$ આગળ $g'(x)$ ધનમાંથી ઋણમાં બદલાય છે,તેથી $x = 0$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય $g(0) = \frac{1}{0^{2}+2} = \frac{1}{2}$ છે.
છેદ $(x^{2}+2)^{2}$ હંમેશા ધન હોવાથી અને અંશ $-2x$ એવી રીતે ચિહ્ન બદલતું નથી કે જેથી સ્થાનિક ન્યૂનતમ મળે,તેથી આ વિધેય માટે કોઈ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય નથી.