फलन $g(x) = \frac{1}{x^{2}+2}$ के लिए स्थानीय उच्चतम और स्थानीय निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।

(A) दिया गया फलन: $g(x) = \frac{1}{x^{2}+2}$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके अवकलज $g'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$g'(x) = \frac{d}{dx}(x^{2}+2)^{-1} = -1(x^{2}+2)^{-2} \cdot (2x) = \frac{-2x}{(x^{2}+2)^{2}}$.
$g'(x) = 0$ रखने पर:
$\frac{-2x}{(x^{2}+2)^{2}} = 0 \Rightarrow -2x = 0 \Rightarrow x = 0$.
अब,हम प्रथम अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हैं:
$x < 0$ के लिए,$x = -1$ लें: $g'(-1) = \frac{-2(-1)}{((-1)^{2}+2)^{2}} = \frac{2}{9} > 0$.
$x > 0$ के लिए,$x = 1$ लें: $g'(1) = \frac{-2(1)}{(1^{2}+2)^{2}} = \frac{-2}{9} < 0$.
चूंकि $x = 0$ पर $g'(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है,इसलिए $x = 0$ स्थानीय उच्चतम का बिंदु है।
स्थानीय उच्चतम मान $g(0) = \frac{1}{0^{2}+2} = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि हर $(x^{2}+2)^{2}$ हमेशा धनात्मक है और अंश $-2x$ इस तरह से चिह्न नहीं बदलता है कि स्थानीय निम्नतम प्राप्त हो,इसलिए इस फलन के लिए कोई स्थानीय निम्नतम मान नहीं है।