$x^{2}=-9y$ के लिए परवलय के फोकस के निर्देशांक,अक्ष,नियता का समीकरण और नाभिलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।

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(N/A) दिया गया समीकरण $x^{2}=-9y$ है।
यहाँ,$y$ का गुणांक ऋणात्मक है।
अतः,परवलय नीचे की ओर खुलता है।
इस समीकरण की तुलना $x^{2}=-4ay$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-4a = -9 \Rightarrow a = \frac{9}{4}$.
$\therefore$ फोकस के निर्देशांक $(0, -a) = (0, -\frac{9}{4})$ हैं।
चूंकि समीकरण में $x^{2}$ शामिल है,इसलिए परवलय का अक्ष $y$-अक्ष है।
नियता का समीकरण $y = a$ अर्थात $y = \frac{9}{4}$ है।
नाभिलंब की लंबाई $4a = 9$ है।

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निम्नलिखित कथनों का अध्ययन करें।
$I$. परवलय $x = ly^2 + my + n$ का शीर्ष $\left(n - \frac{m^2}{4l}, -\frac{m}{2l}\right)$ है।
$II$. परवलय $y = lx^2 + mx + n$ की नाभि $\left(-\frac{m}{2l}, n - \frac{m^2-1}{4l}\right)$ है।
$III$. परवलय $x^2 = 4ay$ के सापेक्ष रेखा $lx + my + n = 0$ का ध्रुव $\left(-\frac{2al}{m}, \frac{n}{m}\right)$ है।
तो,निम्नलिखित में से सही विकल्प है:

$y^2 = 4ax$ परवलय पर किसी भी बिंदु से खींचे गए अभिलंबों के पाद को जोड़ने से बनने वाले त्रिभुज का केंद्रक (centroid) कहाँ स्थित होता है?

मान लीजिए कि एक शांकव (conic) $C$ बिंदु $(4,-2)$ से होकर गुजरता है और $P(x, y), x \geq 3$,$C$ पर कोई बिंदु है। मान लीजिए कि शांकव $C$ को केवल एक बिंदु $P$ पर स्पर्श करने वाली रेखा की ढाल,बिंदुओं $P$ और $(3,-5)$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल की आधी है। यदि $C$ पर स्थित बिंदु $(7,1)$ की नाभीय दूरी $d$ है,तो $12d$ का मान ........... है।

बिंदु $(2, 4)$ से परवलय $y^2 = 4x$ पर खींची गई स्पर्श जीवा का समीकरण क्या है?

परवलय $y^2 = -16x$ पर स्थित उस बिंदु के कार्तीय निर्देशांक ज्ञात कीजिए,जिसका प्राचल (parameter) $t = \frac{1}{2}$ है।

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