આપેલ શરતો સંતોષતા અતિવલયનું સમીકરણ શોધો: નાભિઓ $(\pm 4, 0)$,નાભિલંબની લંબાઈ $12$ છે.

જો અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા, જે $(6, 4\sqrt{3})$ માંથી પસાર થાય છે, તે $15(e^2 + 1) = 34e$ નું સમાધાન કરે છે, તો અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{2(a^2 + 1)} = 1$ ના નાભિલંબની લંબાઈ કેટલી થાય?

ધારો કે $H: \frac{-x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ એ અતિવલય છે,જેની ઉત્કેન્દ્રતા $\sqrt{3}$ છે અને નાભિલંબની લંબાઈ $4\sqrt{3}$ છે. ધારો કે બિંદુ $(\alpha, 6)$,જ્યાં $\alpha > 0$,$H$ પર આવેલું છે. જો $\beta$ એ બિંદુ $(\alpha, 6)$ ના નાભિ અંતરોનો ગુણાકાર હોય,તો $\alpha^2+\beta$ ની કિંમત શોધો:

અતિવલયનું સમીકરણ શોધો જેના નાભિના યામ $(\pm 8, 0)$ છે અને નાભિલંબની લંબાઈ $24$ એકમ છે.

બે બિંદુઓ $A$ અને $B$ ના યામ અનુક્રમે $(1, 0)$ અને $(-1, 0)$ છે અને $Q$ એક એવું બિંદુ છે જે સંબંધ $AQ - BQ = \pm 1$ નું પાલન કરે છે. $Q$ નો બિંદુપથ શું છે?

ધારો કે પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં અતિવલયની અનુપ્રસ્થ અને સંયુગ્મી અક્ષની લંબાઈ અનુક્રમે $2a$ અને $2b$ છે,અને આ અતિવલયનું એક નાભિ અને અનુરૂપ નિયામિકા અનુક્રમે $(-5, 0)$ અને $5x + 9 = 0$ છે. જો અતિવલય પરના બિંદુ $(\alpha, 2\sqrt{5})$ ના નાભિ અંતરોનો ગુણાકાર $p$ હોય,તો $4p$ ની કિંમત . . . . . . છે.