વિકલ સમીકરણ $\cos ^{2} x \frac{d y}{d x}+y=\tan x$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો,જ્યાં $0 \leq x < \frac{\pi}{2}$.

(N/A) આપેલ રેખીય વિકલ સમીકરણ: $\cos ^2 x \frac{d y}{d x}+y=\tan x$ છે.
બંને બાજુ $\cos ^2 x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{d y}{d x} + (\sec ^2 x) y = \sec ^2 x \tan x$.
આ સમીકરણ $\frac{d y}{d x} + Py = Q$ પ્રકારનું છે,જ્યાં $P = \sec ^2 x$ અને $Q = \sec ^2 x \tan x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ નીચે મુજબ મળે: $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \sec ^2 x dx} = e^{\tan x}$.
વ્યાપક ઉકેલનું સૂત્ર $y \cdot (I.F.) = \int (Q \cdot I.F.) dx + C$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y \cdot e^{\tan x} = \int (\sec ^2 x \tan x) e^{\tan x} dx + C$.
ધારો કે $t = \tan x$,તેથી $dt = \sec ^2 x dx$. સંકલન આ મુજબ થશે: $y \cdot e^{\tan x} = \int t e^t dt + C$.
ખંડશઃ સંકલન $\int u dv = uv - \int v du$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = t$ અને $dv = e^t dt$:
$y \cdot e^{\tan x} = t e^t - \int e^t dt + C = t e^t - e^t + C$.
$t = \tan x$ પાછું મૂકતા: $y \cdot e^{\tan x} = \tan x e^{\tan x} - e^{\tan x} + C$.
$e^{\tan x}$ વડે ભાગતા,આપણને વ્યાપક ઉકેલ મળે: $y = \tan x - 1 + C e^{-\tan x}$.