अवकल समीकरण $\cos ^{2} x \frac{d y}{d x}+y=\tan x$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $0 \leq x < \frac{\pi}{2}$ है।

(N/A) हमारे पास रैखिक अवकल समीकरण है: $\cos ^2 x \frac{d y}{d x}+y=\tan x$।
पूरे समीकरण को $\cos ^2 x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{d y}{d x} + (\sec ^2 x) y = \sec ^2 x \tan x$।
यह $\frac{d y}{d x} + Py = Q$ के रूप का रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \sec ^2 x$ और $Q = \sec ^2 x \tan x$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ इस प्रकार है: $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \sec ^2 x dx} = e^{\tan x}$।
व्यापक हल का सूत्र $y \cdot (I.F.) = \int (Q \cdot I.F.) dx + C$ है।
मान रखने पर: $y \cdot e^{\tan x} = \int (\sec ^2 x \tan x) e^{\tan x} dx + C$।
माना $t = \tan x$,तब $dt = \sec ^2 x dx$। समाकलन इस प्रकार हो जाता है: $y \cdot e^{\tan x} = \int t e^t dt + C$।
खंडशः समाकलन $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = t$ और $dv = e^t dt$ है:
$y \cdot e^{\tan x} = t e^t - \int e^t dt + C = t e^t - e^t + C$।
$t = \tan x$ का मान वापस रखने पर: $y \cdot e^{\tan x} = \tan x e^{\tan x} - e^{\tan x} + C$।
$e^{\tan x}$ से विभाजित करने पर,हमें व्यापक हल प्राप्त होता है: $y = \tan x - 1 + C e^{-\tan x}$।