વિધેય $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & \text{જો } x < 0 \\ x + 1, & \text{જો } x \ge 0 \end{cases}$ માટે અસતત બિંદુઓ શોધો.

(NONE) આપેલ વિધેય $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & \text{જો } x < 0 \\ x + 1, & \text{જો } x \ge 0 \end{cases}$ છે.
તે સ્પષ્ટ છે કે $f$ વાસ્તવિક સંખ્યા રેખા પરના તમામ બિંદુઓ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
ધારો કે $c$ એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
કિસ્સો $I$: જો $c < 0$ હોય,તો $f(c) = \frac{\sin c}{c}$ અને $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} \left( \frac{\sin x}{x} \right) = \frac{\sin c}{c}$ થાય.
તેથી $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$ હોવાથી,$f$ એ $x < 0$ માટે સતત છે.
કિસ્સો $II$: જો $c > 0$ હોય,તો $f(c) = c + 1$ અને $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x + 1) = c + 1$ થાય.
તેથી $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$ હોવાથી,$f$ એ $x > 0$ માટે સતત છે.
કિસ્સો $III$: જો $c = 0$ હોય,તો $f(0) = 0 + 1 = 1$ થાય.
$x = 0$ આગળ ડાબી બાજુનું લક્ષ $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x} = 1$ છે.
$x = 0$ આગળ જમણી બાજુનું લક્ષ $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x + 1) = 1$ છે.
અહીં $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 1$ હોવાથી,$f$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે.
ઉપરોક્ત અવલોકનો પરથી,$f$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા રેખા પરના તમામ બિંદુઓ માટે સતત છે. આમ,$f$ ને કોઈ અસતત બિંદુઓ નથી.