उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिंदु से $\frac{6}{\sqrt{29}}$ की दूरी पर है और मूल बिंदु से इसका अभिलंब सदिश $2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$ है। इसका कार्तीय रूप भी ज्ञात कीजिए।

(N/A) माना अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$ है।
इकाई अभिलंब सदिश $\hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 4^2}} = \frac{2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}}{\sqrt{4 + 9 + 16}} = \frac{2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}}{\sqrt{29}}$ है।
मूल बिंदु से $d$ दूरी पर स्थित समतल का सदिश समीकरण $\vec{r} \cdot \hat{n} = d$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\vec{r} \cdot \left( \frac{2}{\sqrt{29}} \hat{i} - \frac{3}{\sqrt{29}} \hat{j} + \frac{4}{\sqrt{29}} \hat{k} \right) = \frac{6}{\sqrt{29}}$ प्राप्त होता है।
कार्तीय रूप ज्ञात करने के लिए,$\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ प्रतिस्थापित करें:
$(x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) \cdot \left( \frac{2}{\sqrt{29}} \hat{i} - \frac{3}{\sqrt{29}} \hat{j} + \frac{4}{\sqrt{29}} \hat{k} \right) = \frac{6}{\sqrt{29}}$
इसे सरल करने पर $\frac{2x - 3y + 4z}{\sqrt{29}} = \frac{6}{\sqrt{29}}$ प्राप्त होता है,जो $2x - 3y + 4z = 6$ है।