x in mathbb{R} के लिए,मान लीजिए f(x) = |sin x | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = |\sin x|$ और $g(x) = \int_0^x |\sin t| \, dt$ है।$p(x) = g(x) - \frac{2}{\pi} x$ है।हम $p(x + \pi) = g(x + \pi) - \frac{2}{\pi

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सभी $x$ के लिए $p(x + \pi) = p(x)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = |\sin x|$ और $g(x) = \int_0^x |\sin t| \, dt$ है।$p(x) = g(x) - \frac{2}{\pi} x$ है।हम $p(x + \pi) = g(x + \pi) - \frac{2}{\pi}(x + \pi)$ का मूल्यांकन करते हैं।$g(x + \pi) = \int_0^{x + \pi} |\sin t| \, dt = \int_0^{\pi} |\sin t| \, dt + \int_{\pi}^{x + \pi} |\sin t| \, dt$ है।चूंकि $|\sin t|$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $\pi$ है,इसलिए $\int_{\pi}^{x + \pi} |\sin t| \, dt = \int_0^x |\sin t| \, dt = g(x)$ है।साथ ही,$\int_0^{\pi} |\sin t| \, dt = 2 \int_0^{\pi/2} \sin t \, dt = 2[-\cos t]_0^{\pi/2} = 2(0 - (-1)) = 2$ है।अतः,$g(x + \pi) = 2 + g(x)$ है।इसे $p(x + \pi)$ में प्रतिस्थापित करने पर:$p(x + \pi) = (2 + g(x)) - \frac{2}{\pi} x - \frac{2}{\pi} \cdot \pi = 2 + g(x) - \frac{2}{\pi} x - 2 = g(x) - \frac{2}{\pi} x = p(x)$ है।अतः,सभी $x$ के लिए $p(x + \pi) = p(x)$ सत्य है।

$x \in \mathbb{R}$ के लिए,मान लीजिए $f(x) = |\sin x|$ और $g(x) = \int_0^x f(t) \, dt$ है। यदि $p(x) = g(x) - \frac{2}{\pi} x$ है,तो:

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यदि $f(x) = \frac{x^3+5}{\sqrt{12+x}}$ और $\int_{-5}^5 f(x) dx = \int_0^5 (f(x) + g(x)) dx$ है,तो $g(x) =$

$\int_{e^2}^{e^4} \frac{1}{x} \left( \frac{e^{((\ln x)^2+1)^{-1}}}{e^{((\ln x)^2+1)^{-1}} + e^{((6-\ln x)^2+1)^{-1}}} \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{1+\sin^{2} x}{1+\pi^{\sin x}}\right) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{5 \pi}^{25 \pi}|\sin 2 x+\cos 2 x| d x=$ ($\sqrt{2}$ में)

यदि $\int\limits_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = k \int\limits_0^\pi \ln(1 + \cos x) dx$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए:

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