0

Question

(A) ધારો કે $I = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \ln(e^{\cos x}) \, d(\sin x)$.કારણ કે $\ln(e^{\cos x}) = \cos x$,તેથી સંકલન $I = \int_{\frac{

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{12}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \ln(e^{\cos x}) \, d(\sin x)$.કારણ કે $\ln(e^{\cos x}) = \cos x$,તેથી સંકલન $I = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cos x \, d(\sin x)$ થશે.આપણે જાણીએ છીએ કે $d(\sin x) = \cos x \, dx$.જ્યારે $\sin x = \frac{1}{2}$,ત્યારે $x = \frac{\pi}{6}$.જ્યારે $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$,ત્યારે $x = \frac{\pi}{3}$.આ કિંમતો મૂકતા,$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \cos x (\cos x \, dx) = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \cos^2 x \, dx$.નિત્યસમ $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1 + \cos 2x}{2} \, dx = \frac{1}{2} [x + \frac{\sin 2x}{2}]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}$.$I = \frac{1}{2} [(\frac{\pi}{3} + \frac{\sin(2\pi/3)}{2}) - (\frac{\pi}{6} + \frac{\sin(\pi/3)}{2})]$.$I = \frac{1}{2} [(\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}) - (\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4})] = \frac{1}{2} [\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}] = \frac{1}{2} [\frac{\pi}{6}] = \frac{\pi}{12}$.

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ માટે,સંકલન $\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \ln(e^{\cos x}) \, d(\sin x)$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

$\int_{ - \pi /4}^{\pi /2} {{e^{ - x}}\sin x\,dx} = $

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec x}{1+2 \sin ^2 x} d x=$

$I = \int_0^{\pi /2} \frac{(\sin x + \cos x)^2}{\sqrt{1 + \sin 2x}} dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

$ \int_{-5}^{5} |x+2| \, dx $ ની કિંમત શોધો.

$\int_{2}^{4} (|x - 2| + |x - 3|) dx =$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module