કોઈપણ સદિશ $\vec{a} \in \mathbb{R}^3$ માટે,$|\vec{a} \times \hat{i}|^2 + |\vec{a} \times \hat{j}|^2 + |\vec{a} \times \hat{k}|^2 = $ . . . . . . .

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો જેની પાસપાસેની બાજુઓ સદિશો $i + 2j + 3k$ અને $-3i - 2j + k$ દ્વારા આપવામાં આવેલ છે (ચોરસ એકમમાં).

પ્રથમ અષ્ટમાંશમાં આવેલા સમઘનને ધ્યાનમાં લો જેની બાજુઓ $OP, OQ$ અને $OR$ ની લંબાઈ $1$ છે,જે અનુક્રમે $x$-અક્ષ,$y$-અક્ષ અને $z$-અક્ષ પર છે,જ્યાં $O(0,0,0)$ ઉગમબિંદુ છે. ધારો કે $S\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ એ સમઘનનું કેન્દ્ર છે અને $T$ એ ઉગમબિંદુ $O$ ની સામેનું સમઘનનું શિરોબિંદુ છે જેથી $S$ એ વિકર્ણ $OT$ પર આવેલું હોય. જો $\overrightarrow{p} = \overrightarrow{SP}, \overrightarrow{q} = \overrightarrow{SQ}, \overrightarrow{r} = \overrightarrow{SR}$ અને $\overrightarrow{t} = \overrightarrow{ST}$ હોય,તો $|(\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q}) \times (\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{t})|$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $\hat{\alpha}, \hat{\beta}, \hat{\gamma}$ ત્રણ એકમ સદિશો છે જેથી $\hat{\alpha} \times (\hat{\beta} \times \hat{\gamma}) = \frac{1}{2}(\hat{\beta} + \hat{\gamma})$ થાય. જો $\hat{\beta}$ એ $\hat{\gamma}$ ને સમાંતર ન હોય, તો $\hat{\alpha}$ અને $\hat{\beta}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

ધારો કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બે શૂન્યેતર સદિશો છે જે એકબીજાને લંબ છે અને $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ છે. જો $|\vec{a} \times \vec{b}|=|\vec{a}|$ હોય,તો સદિશો $(\vec{a}+\vec{b}+(\vec{a} \times \vec{b}))$ અને $\vec{a}$ વચ્ચેનો ખૂણો કેટલો થાય?

જો $\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}+3 \overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$ હોય,તો $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}$ ની કિંમત શોધો.