प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए, मान लीजिए | vedclass

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Question

(B) दिया गया है, $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n - 1}{n!} x^n$. हम इसे $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2x)^n}{n!} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac

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ठीक एक वास्तविक हल है

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(B) दिया गया है, $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n - 1}{n!} x^n$. हम इसे $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2x)^n}{n!} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ के रूप में लिख सकते हैं। चूंकि $e^y = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n!}$, इसलिए $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n!} = e^y - 1$ है। इसे प्रतिस्थापित करने पर, $f(x) = (e^{2x} - 1) - (e^x - 1) = e^{2x} - e^x$ प्राप्त होता है। $f(x) = 0$ रखने पर, $e^{2x} - e^x = 0$, जिसका अर्थ है $e^x(e^x - 1) = 0$। चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $e^x > 0$ होता है, इसलिए $e^x - 1 = 0$ होना चाहिए, जिससे $e^x = 1$ प्राप्त होता है। अतः, $x = 0$ ही एकमात्र वास्तविक हल है।

प्रत्येक वास्तविक संख्या $x$ के लिए, मान लीजिए $f(x) = \frac{x}{1!} + \frac{3}{2!} x^2 + \frac{7}{3!} x^3 + \frac{15}{4!} x^4 + \dots$. तो समीकरण $f(x) = 0$ के

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$1 + \frac{2}{3!} + \frac{3}{5!} + \frac{4}{7!} + \dots \infty = \,$

यदि $y = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots \infty$ है,तो $x = $

$1 + x \log_e a + \frac{x^2}{2!} (\log_e a)^2 + \frac{x^3}{3!} (\log_e a)^3 + \dots = $

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