અતિવલય $\frac{x^{2}}{\cos^{2} \alpha} - \frac{y^{2}}{\sin^{2} \alpha} = 1$ માટે, જ્યારે $\alpha$ બદલાય ત્યારે નીચેનામાંથી શું નિશ્ચિત રહે છે?

ચલ $t$ માટે, રેખાઓ $x-2y=t$ અને $x+2y=\frac{1}{t}$ ના છેદબિંદુઓનો બિંદુપથ શું છે?

એક અતિવલય (hyperbola) એ ઉપવલય (ellipse) $\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{25}=1$ ના નાભિ (focus) માંથી પસાર થાય છે. તેના મુખ્ય અને ગૌણ અક્ષો અનુક્રમે ઉપવલયના મોટા અને નાના અક્ષો સાથે સંપાતી છે. તેમની ઉત્કેન્દ્રતાનો ગુણાકાર $1$ છે. તો,અતિવલયનું સમીકરણ શોધો.

$P(\theta)$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{9} = 1$ પરનું એક બિંદુ છે,$S$ એ ધન $X$-અક્ષ પર આવેલું તેનું નાભિ છે અને $Q = (0, 1)$ છે. જો $S Q = \sqrt{26}$ અને $S P = 6$ હોય,તો $\theta =$

લંબચોરસ અતિવલય $xy = c^2$ ની $y = x$ રેખાને સમાંતર જીવાઓને વ્યાસ તરીકે લઈને વર્તુળો દોરવામાં આવે છે. આવા તમામ વર્તુળો બે નિશ્ચિત બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે,જેના યામ છે:

અતિવલય $x = 8 \sec \theta, y = 8 \tan \theta$ ની નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર કેટલું છે?