दो शून्येतर सम्मिश्र संख्याओं z_1 और z_2 के ल | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $z_1 = x_1 + i y_1$ और $z_2 = x_2 + i y_2$, जहाँ $x_1, x_2, y_1, y_2 \in \mathbb{R}$ है।दिया गया है $\operatorname{Re}(z_1 + z_2) = x_1

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$B$ और $C$

Vedclass · Answer

(B) मान लीजिए $z_1 = x_1 + i y_1$ और $z_2 = x_2 + i y_2$, जहाँ $x_1, x_2, y_1, y_2 \in \mathbb{R}$ है।दिया गया है $\operatorname{Re}(z_1 + z_2) = x_1 + x_2 = 0$, जिसका अर्थ है $x_2 = -x_1$ है।दिया गया है $\operatorname{Re}(z_1 z_2) = x_1 x_2 - y_1 y_2 = 0$ है।दूसरे समीकरण में $x_2 = -x_1$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $x_1(-x_1) - y_1 y_2 = 0$ प्राप्त होता है, जो सरल होकर $-x_1^2 - y_1 y_2 = 0$ या $y_1 y_2 = -x_1^2$ हो जाता है।चूंकि $z_1, z_2$ शून्येतर हैं, यदि $x_1 = 0$ है, तो $x_2 = 0$ होगा। परिणामस्वरूप, $y_1 y_2 = 0$ होगा। लेकिन $z_1, z_2 
eq 0$ होने के कारण, इसका अर्थ है $y_1 
eq 0$ और $y_2 
eq 0$, जो $y_1 y_2 = 0$ के साथ विरोधाभास करता है। अतः, $x_1 
eq 0$, जिसका अर्थ है $x_1^2 > 0$ है।इसलिए, $y_1 y_2 = -x_1^2 यह इंगित करता है कि $y_1$ और $y_2$ के चिह्न विपरीत होने चाहिए।अतः, $\operatorname{Im}(z_1)$ और $\operatorname{Im}(z_2)$ के चिह्न विपरीत हैं, जो स्थितियों $(B)$ और $(C)$ के अनुरूप है।

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$\left(\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}\right) \times \left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right) \times \left(\cos \frac{\pi}{8}+i \sin \frac{\pi}{8}\right) \times \ldots \infty =$

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