द्वितीय चतुर्थांश में स्थित और निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करने वाले वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।

(N/A) माना $C$ द्वितीय चतुर्थांश में स्थित और निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करने वाले वृत्तों के कुल को दर्शाता है। माना इस कुल के किसी भी सदस्य के केंद्र के निर्देशांक $(-a, a)$ हैं।
कुल $C$ को निरूपित करने वाला समीकरण है
$(x+a)^{2}+(y-a)^{2}=a^{2}$ ............$(1)$
या $x^{2}+y^{2}+2ax-2ay+a^{2}=0$ .............. $(2)$
समीकरण $(2)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है
$2x+2y \frac{dy}{dx}+2a-2a \frac{dy}{dx} = 0$
या $x+y \frac{dy}{dx} = a \left(\frac{dy}{dx}-1\right)$
या $a = \frac{x+y y^{\prime}}{y^{\prime}-1}$
$a$ का मान समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है
$\left[x+\frac{x+y y^{\prime}}{y^{\prime}-1}\right]^{2}+\left[y-\frac{x+y y^{\prime}}{y^{\prime}-1}\right]^{2}=\left[\frac{x+y y^{\prime}}{y^{\prime}-1}\right]^{2}$
या $\left[\frac{x y^{\prime}-x+x+y y^{\prime}}{y^{\prime}-1}\right]^{2}+\left[\frac{y y^{\prime}-y-x-y y^{\prime}}{y^{\prime}-1}\right]^{2}=\left[\frac{x+y y^{\prime}}{y^{\prime}-1}\right]^{2}$
या $(x y^{\prime}+y y^{\prime})^{2}+(-y-x)^{2}=(x+y y^{\prime})^{2}$
या $(x+y)^{2} (y^{\prime})^{2}+(x+y)^{2}=(x+y y^{\prime})^{2}$
या $(x+y)^{2} [1+(y^{\prime})^{2}]=(x+y y^{\prime})^{2}$
यह अभीष्ट अवकल समीकरण है।