વિધેય $f(x) = \sin^{-1}(\sqrt{x})$ એ કયા અંતરાલમાં વ્યાખ્યાયિત છે?

ધારો કે $[\cdot]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે. જો વિધેય $f(x) = \sin^{-1} \left( \frac{x+[x]}{3} \right)$ નો પ્રદેશ $[\alpha, \beta)$ હોય, તો $\alpha^2 + \beta^2$ ની કિંમત શોધો:

સમીકરણ $\tan ^{-1} \sqrt{x(x+1)}+\sin ^{-1} \sqrt{x^{2}+x+1}=\frac{\pi}{4}$ ના વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો વિધેય $f(x) = \sec^{-1}\left(\frac{2x}{5x+3}\right)$ નો પ્રદેશ $[\alpha, \beta) \cup (\gamma, \delta]$ હોય,તો $|3\alpha + 10(\beta + \gamma) + 21\delta|$ ની કિંમત $.......$ થાય.

ધારો કે $[\cdot]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે. જો વિધેય $f(x) = \cos^{-1} \left( \frac{4x+2[x]}{3} \right)$ નો પ્રદેશ $[\alpha, \beta]$ હોય, તો $12(\alpha + \beta)$ ની કિંમત શોધો:

$f(x) = \sin^{-1} (\sqrt{x^2 + x + 1})$ નો વિસ્તાર શોધો.