एक आदर्श एकपरमाणुक गैस को $dQ = 2dU$ प्रक्रिया से गुजारा जाता है। इस प्रक्रिया के लिए मोलर ऊष्मा धारिता (molar heat capacity) क्या है?

$P$ दाब और $V$ आयतन वाली एक एकपरमाणुक गैस समतापीय रूप से $2V$ आयतन तक फैलती है और फिर रुद्धोष्म (adiabatic) रूप से $16V$ आयतन तक फैलती है। गैस का अंतिम दाब ज्ञात कीजिए $\left(\gamma = \frac{5}{3}\right)$ है।

एक आदर्श गैस को तापमान $T$ - एन्ट्रापी $S$ आरेख पर दिखाए गए अनुसार चक्र $a-b-c-d-a$ के चारों ओर प्रतिवर्ती रूप से ले जाया जाता है। आंतरिक ऊर्जा $U$ - आयतन $V$ आरेख पर उपरोक्त चक्र का सबसे उपयुक्त निरूपण है

जब एक परमाण्विक (मोनोएटॉमिक) गैस को स्थिर दाब पर $Q$ ऊष्मा दी जाती है,तो गैस द्वारा किया गया कार्य कितना होगा?

अनुच्छेद में दी गई जानकारी के आधार पर सूचियों का उचित मिलान करके निम्नलिखित का उत्तर दें।
एक आदर्श एकपरमाणुक गैस पर ऊष्मागतिकी प्रक्रिया में,गैस द्वारा अवशोषित सूक्ष्म ऊष्मा $T \Delta X$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ निकाय का तापमान है और $\Delta X$ निकाय की ऊष्मागतिक मात्रा $X$ में सूक्ष्म परिवर्तन है। एक मोल एकपरमाणुक आदर्श गैस के लिए,$X = \frac{3}{2} R \ln \left(\frac{T}{T_A}\right) + R \ln \left(\frac{V}{V_A}\right)$। यहाँ,$R$ गैस नियतांक है,$V$ गैस का आयतन है,$T_A$ और $V_A$ नियतांक हैं।
नीचे दी गई $List-I$ एक प्रक्रिया में शामिल कुछ राशियों को देती है और $List-II$ इन राशियों के कुछ संभावित मान देती है।

List-$I$	List-$II$
$(I)$ प्रक्रिया $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3$ में निकाय द्वारा किया गया कार्य	$(P)$ $\frac{1}{3} R T_0 \ln 2$
$(II)$ प्रक्रिया $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3$ में आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन	$(Q)$ $\frac{1}{3} R T_0$
$(III)$ प्रक्रिया $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3$ में निकाय द्वारा अवशोषित ऊष्मा	$(R)$ $R T_0$
$(IV)$ प्रक्रिया $1 \rightarrow 2$ में निकाय द्वारा अवशोषित ऊष्मा	$(S)$ $\frac{4}{3} R T_0$
	$(T)$ $\frac{1}{3} R T_0 (3 + \ln 2)$
	$(U)$ $\frac{5}{6} R T_0$

यदि एक मोल एकपरमाणुक आदर्श गैस पर की गई प्रक्रिया $PV$-आरेख में दिखाए अनुसार है,जिसमें $P_0 V_0 = \frac{1}{3} R T_0$ है,तो सही मिलान है:
$(1)$ $I \rightarrow Q, II \rightarrow R, III \rightarrow P, IV \rightarrow U$
$(2)$ $I \rightarrow S, II \rightarrow R, III \rightarrow Q, IV \rightarrow T$
$(3)$ $I \rightarrow Q, II \rightarrow R, III \rightarrow S, IV \rightarrow U$
$(4)$ $I \rightarrow Q, II \rightarrow S, III \rightarrow R, IV \rightarrow U$
यदि एक मोल एकपरमाणुक आदर्श गैस पर प्रक्रिया $TV$-आरेख में दिखाए अनुसार है,जिसमें $P_0 V_0 = \frac{1}{3} R T_0$ है,तो सही मिलान है:
$(1)$ $I \rightarrow S, II \rightarrow T, III \rightarrow Q, IV \rightarrow U$
$(2)$ $I \rightarrow P, II \rightarrow R, III \rightarrow T, IV \rightarrow S$
$(3)$ $I \rightarrow P, II \rightarrow R, III \rightarrow Q, IV \rightarrow T$
$(4)$ $I \rightarrow P, II \rightarrow R, III \rightarrow T, IV \rightarrow P$
प्रश्न $(1)$ और $(2)$ के लिए उत्तर दें।

एक एकपरमाणुक (monoatomic) गैस $\frac{Q}{4}$ कार्य करती है,जहाँ $Q$ उसे दी गई ऊष्मा है। इस रूपांतरण के दौरान गैस की मोलर ऊष्मा धारिता $xR$ होगी,जहाँ $R$ गैस नियतांक है। $x$ का मान ज्ञात कीजिए।