જો $0$ અથવા $1$ ઘટકો ધરાવતો $2$જા ક્રમનો નિશ્ચાયક તમામ આવા નિશ્ચાયકોના ગણમાંથી પસંદ કરવામાં આવે,તો પસંદ કરેલ નિશ્ચાયક શૂન્યતર હોય તેની સંભાવના શોધો.

કોઈપણ $3 \times 3$ શ્રેણિક $M$ માટે,$|M|$ એ $M$ નો નિશ્ચાયક દર્શાવે છે. ધારો કે $I$ એ $3 \times 3$ એકમ શ્રેણિક છે. ધારો કે $E$ અને $F$ બે $3 \times 3$ શ્રેણિકો છે જેથી $(I-EF)$ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો છે. જો $G=(I-EF)^{-1}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ છે?
$(A) |FE|=|I-FE||FGE|$
$(B) |I-FE|(I+FGE)=I$
$(C) EFG=GEF$
$(D) (I-FE)(I-FGE)=I$

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & a & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$,જ્યાં $a, b \in \mathbb{R}$. જો કોઈ $n \in \mathbb{N}$ માટે,$A^n = \begin{bmatrix} 1 & 48 & 2160 \\ 0 & 1 & 96 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ હોય,તો $n + a + b$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $A$ એ $3 \times 3$ નો વાસ્તવિક શ્રેણિક છે જેથી $A^2(A-2I) - 4(A-I) = O$,જ્યાં $I$ અને $O$ અનુક્રમે એકમ અને શૂન્ય શ્રેણિક છે. જો $A^5 = \alpha A^2 + \beta A + \gamma I$ હોય,જ્યાં $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ વાસ્તવિક અચળાંકો છે,તો $\alpha + \beta + \gamma$ ની કિંમત શોધો:

જો શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ હોય,તો:

ધારો કે $\omega \neq 1$ એ એકનું ઘનમૂળ છે અને $S$ એ $\begin{bmatrix} 1 & a & b \\ \omega & 1 & c \\ \omega^2 & \omega & 1 \end{bmatrix}$ સ્વરૂપના તમામ અસામાન્ય શ્રેણિકોનો ગણ છે,જ્યાં $a$,$b$ અને $c$ પૈકી દરેક $\omega$ અથવા $\omega^2$ છે,તો ગણ $S$ માં ભિન્ન શ્રેણિકોની સંખ્યા કેટલી છે?