यदि f(x) एक अवकलनीय फलन है,जैसे कि सभी x, y | vedclass

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Question

(B) दिया गया फलन समीकरण $f(xy) = f(x) + f(y)$ है।$x = 1$ और $y = 1$ रखने पर,हमें $f(1) = f(1) + f(1)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(1) = 0$।अब,$x$

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$0$

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(B) दिया गया फलन समीकरण $f(xy) = f(x) + f(y)$ है।$x = 1$ और $y = 1$ रखने पर,हमें $f(1) = f(1) + f(1)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(1) = 0$।अब,$x$ को स्थिर रखते हुए $y$ के सापेक्ष दिए गए समीकरण का अवकलन करने पर:$\frac{d}{dy} f(xy) = \frac{d}{dy} (f(x) + f(y))$$f'(xy) \cdot x = f'(y)$।$y = 1$ रखने पर,हमें $x \cdot f'(x) = f'(1)$ प्राप्त होता है।मान लीजिए $f'(1) = k$,तो $f'(x) = \frac{k}{x}$।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $f(x) = k \ln(x) + C$ प्राप्त होता है।चूंकि $f(1) = 0$,इसलिए $k \ln(1) + C = 0$,जिसका अर्थ है $C = 0$।अतः,$f(x) = k \ln(x)$।अब,$f(e) + f(1/e)$ की गणना करें:$f(e) = k \ln(e) = k(1) = k$।$f(1/e) = k \ln(1/e) = k \ln(e^{-1}) = -k \ln(e) = -k$।इसलिए,$f(e) + f(1/e) = k + (-k) = 0$।

यदि $f(x)$ एक अवकलनीय फलन है,जैसे कि सभी $x, y > 0$ के लिए $f(xy) = f(x) + f(y)$ है,तो $f(e) + f(1/e) = ?$

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