मान लीजिए कि सभी वास्तविक x और y के लिए fleft | vedclass

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Question

(D) दिया गया फलन समीकरण: $f\left( \frac{x + 8y}{9} \right) = \frac{f(x) + 8f(y)}{9}$ है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$y$ को अचर मानते

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$9$

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(D) दिया गया फलन समीकरण: $f\left( \frac{x + 8y}{9} \right) = \frac{f(x) + 8f(y)}{9}$ है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$y$ को अचर मानते हुए:$f'\left( \frac{x + 8y}{9} \right) \cdot \frac{1}{9} = \frac{f'(x)}{9}$ प्राप्त होता है।यह सरल होकर $f'\left( \frac{x + 8y}{9} \right) = f'(x)$ हो जाता है।उपरोक्त समीकरण में $x = 0$ रखने पर:$f'\left( \frac{8y}{9} \right) = f'(0)$ प्राप्त होता है।चूंकि $f'(0) = 2$ दिया गया है,इसलिए $f'\left( \frac{8y}{9} \right) = 2$ है।मान लीजिए $t = \frac{8y}{9}$,तो $y = \frac{9t}{8}$। चूंकि $y$ कोई भी वास्तविक संख्या है,इसलिए $t$ भी कोई भी वास्तविक संख्या है। अतः,सभी $t$ के लिए $f'(t) = 2$ है।$f'(t) = 2$ का समाकलन करने पर $f(t) = 2t + C$ प्राप्त होता है।दी गई शर्त $f(0) = -5$ का उपयोग करने पर:$f(0) = 2(0) + C = -5 \implies C = -5$ प्राप्त होता है।अतः,फलन $f(x) = 2x - 5$ है।$f(7)$ का मान ज्ञात करने के लिए:$f(7) = 2(7) - 5 = 14 - 5 = 9$।

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