જો $a$,$b$,$c$ એ $A.P.$ ના $p^{th}$,$q^{th}$,$r^{th}$ પદો હોય અને $\vec x = (q - r)\hat i + (r - p)\hat j + (p - q)\hat k$ તથા $\vec y = a\hat i + b\hat j + c\hat k$ હોય,તો:

દર્શાવો કે બિંદુઓ $A (2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$,$B (\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k})$ અને $C (3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k})$ એ કાટકોણ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે.

જો $a$ અને $b$ બે એકમ સદિશો હોય અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોય,તો $a$ અને $b$ ના ખૂણાના દ્વિભાજક પરનો એકમ સદિશ કયો છે?

ધારો કે વર્તુળનો ચાપ $AC$ કેન્દ્ર $O$ પર કાટખૂણો આંતરે છે. જો ચાપ $AC$ પરનું બિંદુ $B$,ચાપ $AC$ ને એવી રીતે વિભાજિત કરે છે કે જેથી $\frac{\text{ચાપ } AB \text{ ની લંબાઈ}}{\text{ચાપ } BC \text{ ની લંબાઈ}} = \frac{1}{5}$,અને $\overrightarrow{OC} = \alpha \overrightarrow{OA} + \beta \overrightarrow{OB}$,તો $\alpha + \sqrt{2}(\sqrt{3}-1) \beta$ ની કિંમત શોધો.

જો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ અને $\vec{d}$ એકમ સદિશો હોય કે જેથી $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = 1$ અને $\vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{1}{2}$ થાય,તો:

ધારો કે $\overline{A}, \overline{B}, \overline{C}$ એ અનુક્રમે $3$ એકમ,$4$ એકમ અને $5$ એકમ લંબાઈના સદિશો છે. જો $\overline{A}$ એ $\overline{B}+\overline{C}$ ને લંબ હોય,$\overline{B}$ એ $\overline{C}+\overline{A}$ ને લંબ હોય અને $\overline{C}$ એ $\overline{A}+\overline{B}$ ને લંબ હોય,તો સદિશ $\overline{A}+\overline{B}+\overline{C}$ ની લંબાઈ શોધો.