જો $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ હોય,તો સાબિત કરો કે $A^{3} - 23A - 40I = 0$.
(N/A) સૌ પ્રથમ,આપણે $A^{2} = A \cdot A$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^{2} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 4 & 8 \\ 1 & 12 & 8 \\ 14 & 6 & 15 \end{bmatrix}$
ત્યારબાદ,આપણે $A^{3} = A \cdot A^{2}$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^{3} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 19 & 4 & 8 \\ 1 & 12 & 8 \\ 14 & 6 & 15 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 63 & 46 & 69 \\ 69 & -6 & 23 \\ 92 & 46 & 63 \end{bmatrix}$
હવે,આ કિંમતોને $A^{3} - 23A - 40I$ પદમાં મૂકીએ:
$A^{3} - 23A - 40I = \begin{bmatrix} 63 & 46 & 69 \\ 69 & -6 & 23 \\ 92 & 46 & 63 \end{bmatrix} - 23 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix} - 40 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 63 & 46 & 69 \\ 69 & -6 & 23 \\ 92 & 46 & 63 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -23 & -46 & -69 \\ -69 & 46 & -23 \\ -92 & -46 & -23 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -40 & 0 & 0 \\ 0 & -40 & 0 \\ 0 & 0 & -40 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 63-23-40 & 46-46+0 & 69-69+0 \\ 69-69+0 & -6+46-40 & 23-23+0 \\ 92-92+0 & 46-46+0 & 63-23-40 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = 0$.
$A^{2} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 4 & 8 \\ 1 & 12 & 8 \\ 14 & 6 & 15 \end{bmatrix}$
ત્યારબાદ,આપણે $A^{3} = A \cdot A^{2}$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^{3} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 19 & 4 & 8 \\ 1 & 12 & 8 \\ 14 & 6 & 15 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 63 & 46 & 69 \\ 69 & -6 & 23 \\ 92 & 46 & 63 \end{bmatrix}$
હવે,આ કિંમતોને $A^{3} - 23A - 40I$ પદમાં મૂકીએ:
$A^{3} - 23A - 40I = \begin{bmatrix} 63 & 46 & 69 \\ 69 & -6 & 23 \\ 92 & 46 & 63 \end{bmatrix} - 23 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix} - 40 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 63 & 46 & 69 \\ 69 & -6 & 23 \\ 92 & 46 & 63 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -23 & -46 & -69 \\ -69 & 46 & -23 \\ -92 & -46 & -23 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -40 & 0 & 0 \\ 0 & -40 & 0 \\ 0 & 0 & -40 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 63-23-40 & 46-46+0 & 69-69+0 \\ 69-69+0 & -6+46-40 & 23-23+0 \\ 92-92+0 & 46-46+0 & 63-23-40 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = 0$.
Explore More
Similar Questions
નીચેના ગાણિતિક વિધાનોને ધ્યાનપૂર્વક વાંચો:
$I$. એવા બે ત્રિકોણ અસ્તિત્વ ધરાવી શકે છે કે જેમાં એક ત્રિકોણની બધી બાજુઓ $1 \text{ cm}$ કરતા નાની હોય જ્યારે બીજા ત્રિકોણની બધી બાજુઓ $10 \text{ m}$ કરતા મોટી હોય,પરંતુ પ્રથમ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બીજા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ કરતા વધારે હોય.
$II$. જો $x, y, z$ બધા અલગ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય,તો $\frac{1}{(x - y)^2} + \frac{1}{(y - z)^2} + \frac{1}{(z - x)^2} = \left( \frac{1}{x - y} + \frac{1}{y - z} + \frac{1}{z - x} \right)^2$.
$III$. $\log_3 x \cdot \log_4 x \cdot \log_5 x = (\log_3 x \cdot \log_4 x) + (\log_4 x \cdot \log_5 x) + (\log_5 x \cdot \log_3 x)$ એ $x$ ની માત્ર એક વાસ્તવિક કિંમત માટે સાચું છે.
$IV$. એક શ્રેણિકમાં $12$ ઘટકો છે. તેની શક્ય કક્ષાઓની સંખ્યા $6$ છે. હવે સાચો વિકલ્પ દર્શાવો.
$I$. એવા બે ત્રિકોણ અસ્તિત્વ ધરાવી શકે છે કે જેમાં એક ત્રિકોણની બધી બાજુઓ $1 \text{ cm}$ કરતા નાની હોય જ્યારે બીજા ત્રિકોણની બધી બાજુઓ $10 \text{ m}$ કરતા મોટી હોય,પરંતુ પ્રથમ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બીજા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ કરતા વધારે હોય.
$II$. જો $x, y, z$ બધા અલગ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય,તો $\frac{1}{(x - y)^2} + \frac{1}{(y - z)^2} + \frac{1}{(z - x)^2} = \left( \frac{1}{x - y} + \frac{1}{y - z} + \frac{1}{z - x} \right)^2$.
$III$. $\log_3 x \cdot \log_4 x \cdot \log_5 x = (\log_3 x \cdot \log_4 x) + (\log_4 x \cdot \log_5 x) + (\log_5 x \cdot \log_3 x)$ એ $x$ ની માત્ર એક વાસ્તવિક કિંમત માટે સાચું છે.
$IV$. એક શ્રેણિકમાં $12$ ઘટકો છે. તેની શક્ય કક્ષાઓની સંખ્યા $6$ છે. હવે સાચો વિકલ્પ દર્શાવો.
જો $A = \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ એ સમીકરણ $x^2 + 4x - p = 0$ નું સમાધાન કરે છે, તો $p$ ની કિંમત શોધો.
જો $\Delta_1=\left|\begin{array}{lll}1 & a^2 & a^3 \\ 1 & b^2 & b^3 \\ 1 & c^2 & c^3\end{array}\right|$ અને $\Delta_2=\left|\begin{array}{lll}b c & b+c & 1 \\ c a & c+a & 1 \\ a b & a+b & 1\end{array}\right|$, હોય, તો $\frac{\Delta_1}{\Delta_2}=$
ધારો કે $A = \begin{bmatrix} \frac{1}{6} & \frac{-1}{3} & \frac{-1}{6} \\ \frac{-1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{-1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \end{bmatrix}$. જો દરેક $l, m, n \in N$ માટે $A^{2016l} + A^{2017m} + A^{2018n} = \frac{1}{\alpha} A$ હોય, તો $\alpha$ નું મૂલ્ય શોધો.
જો $A = \begin{bmatrix} -1 & x & -3 \\ 2 & 4 & z \\ y & 5 & -6 \end{bmatrix}$ એ સંમિત શ્રેણિક હોય અને $B = \begin{bmatrix} 0 & 2 & q \\ p & 0 & -4 \\ -3 & r & s \end{bmatrix}$ એ વિસંમિત શ્રેણિક હોય,તો $|A| + |B| - |AB| = $
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo