જો $f(x) = \begin{cases} mx^2 + n, & x < 0 \\ nx + m, & 0 \leq x \leq 1 \\ nx^3 + m, & x > 1 \end{cases}$ હોય,તો કયા પૂર્ણાંકો $m$ અને $n$ માટે $\lim_{x \to 0} f(x)$ અને $\lim_{x \to 1} f(x)$ નું અસ્તિત્વ છે?

(A) $\lim_{x \to 0} f(x)$ નું અસ્તિત્વ હોવા માટે,$x = 0$ આગળ ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ સમાન હોવા જોઈએ.
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} (mx^2 + n) = m(0)^2 + n = n$
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} (nx + m) = n(0) + m = m$
આમ,જો $m = n$ હોય તો $\lim_{x \to 0} f(x)$ નું અસ્તિત્વ છે.
$\lim_{x \to 1} f(x)$ નું અસ્તિત્વ હોવા માટે,$x = 1$ આગળ ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ સમાન હોવા જોઈએ.
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1} (nx + m) = n(1) + m = n + m$
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1} (nx^3 + m) = n(1)^3 + m = n + m$
$n + m = n + m$ હોવાથી,$\lim_{x \to 1} f(x)$ નું અસ્તિત્વ કોઈપણ પૂર્ણાંક $m$ અને $n$ માટે છે.
તેથી,બંને લક્ષોનું અસ્તિત્વ હોવા માટેની શરત $m = n$ છે.