જો $e^{y}(x+1)=1$ હોય,તો સાબિત કરો કે $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}$.

આપેલ સંબંધ $e^{y}(x+1)=1$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$y + \ln(x+1) = \ln(1) = 0$
$y = -\ln(x+1)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x+1}$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -\left(-\frac{1}{(x+1)^{2}}\right) = \frac{1}{(x+1)^{2}}$
કારણ કે $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x+1}$,તેથી $\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} = \left(-\frac{1}{x+1}\right)^{2} = \frac{1}{(x+1)^{2}}$.
આમ,$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}$.
આમ,સાબિત થાય છે.