यदि $p$ और $q$ मूल बिंदु से रेखाओं $x \cos \theta - y \sin \theta = k \cos 2 \theta$ और $x \sec \theta + y \csc \theta = k$ पर डाले गए लंब की लंबाइयाँ हैं,तो सिद्ध कीजिए कि $p^{2} + 4q^{2} = k^{2}$।

दी गई रेखाओं के समीकरण हैं:
$x \cos \theta - y \sin \theta = k \cos 2 \theta$ ..... $(1)$
$x \sec \theta + y \csc \theta = k$ ..... $(2)$
बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी $(d)$ का सूत्र $d = \frac{|Ax_{1} + By_{1} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ है।
रेखा $(1)$ के लिए,$A = \cos \theta, B = -\sin \theta, C = -k \cos 2 \theta$। मूल बिंदु $(0,0)$ से लंबवत दूरी $p$:
$p = \frac{|-k \cos 2 \theta|}{\sqrt{\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta}} = |k \cos 2 \theta|$
$p^{2} = k^{2} \cos^{2} 2 \theta$ ..... $(3)$
रेखा $(2)$ के लिए,$A = \sec \theta, B = \csc \theta, C = -k$। मूल बिंदु $(0,0)$ से लंबवत दूरी $q$:
$q = \frac{|-k|}{\sqrt{\sec^{2} \theta + \csc^{2} \theta}} = \frac{|k|}{\sqrt{\frac{1}{\cos^{2} \theta} + \frac{1}{\sin^{2} \theta}}} = |k \sin \theta \cos \theta|$
$q = |k \frac{\sin 2 \theta}{2}|$
$4q^{2} = k^{2} \sin^{2} 2 \theta$ ..... $(4)$
$(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$p^{2} + 4q^{2} = k^{2} \cos^{2} 2 \theta + k^{2} \sin^{2} 2 \theta = k^{2}$।
अतः,$p^{2} + 4q^{2} = k^{2}$ सिद्ध हुआ।