જો $p, q, r$ એ $G.P.$ માં હોય અને સમીકરણો $p x^{2}+2 q x+r=0$ અને $d x^{2}+2 e x+f=0$ નું એક સામાન્ય બીજ હોય,તો સાબિત કરો કે $\frac{d}{p}, \frac{e}{q}, \frac{f}{r}$ એ $A.P.$ માં છે.

(N/A) આપેલ છે કે $p, q, r$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $q^{2} = pr$.
સમીકરણ $p x^{2} + 2 q x + r = 0$ ને $p x^{2} + 2 q x + \frac{q^{2}}{p} = 0$ તરીકે લખી શકાય,જે $p^{2} x^{2} + 2 p q x + q^{2} = 0$ માં પરિણમે છે.
આ $(p x + q)^{2} = 0$ છે,તેથી બીજ $x = -\frac{q}{p}$ છે.
આ $d x^{2} + 2 e x + f = 0$ માટે સામાન્ય બીજ હોવાથી,આપણે $x = -\frac{q}{p}$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકીએ:
$d(-\frac{q}{p})^{2} + 2 e(-\frac{q}{p}) + f = 0$
$d(\frac{q^{2}}{p^{2}}) - 2 e(\frac{q}{p}) + f = 0$
$\frac{p^{2}}{q^{2}}$ વડે ગુણતા:
$d - 2 e(\frac{p}{q}) + f(\frac{p^{2}}{q^{2}}) = 0$
$q^{2} = pr$ હોવાથી,$\frac{p}{q} = \frac{q}{r}$ અને $\frac{p^{2}}{q^{2}} = \frac{p}{r}$ થાય.
$d - 2 e(\frac{p}{q}) + f(\frac{p}{r}) = 0$
$p$ વડે ભાગતા:
$\frac{d}{p} - 2 \frac{e}{q} + \frac{f}{r} = 0$
$\frac{d}{p} + \frac{f}{r} = 2 \frac{e}{q}$
આ સાબિત કરે છે કે $\frac{d}{p}, \frac{e}{q}, \frac{f}{r}$ એ $A.P.$ માં છે.