यदि $p, q, r$ $G.P.$ में हैं और समीकरणों $p x^{2}+2 q x+r=0$ और $d x^{2}+2 e x+f=0$ का एक उभयनिष्ठ मूल है,तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{d}{p}, \frac{e}{q}, \frac{f}{r}$ $A.P.$ में हैं।

(N/A) दिया गया है कि $p, q, r$ $G.P.$ में हैं,इसलिए $q^{2} = pr$ है।
समीकरण $p x^{2} + 2 q x + r = 0$ को $p x^{2} + 2 q x + \frac{q^{2}}{p} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो $p^{2} x^{2} + 2 p q x + q^{2} = 0$ में सरल हो जाता है।
यह $(p x + q)^{2} = 0$ है,इसलिए मूल $x = -\frac{q}{p}$ है।
चूंकि यह $d x^{2} + 2 e x + f = 0$ के लिए एक उभयनिष्ठ मूल है,हम $x = -\frac{q}{p}$ को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$d(-\frac{q}{p})^{2} + 2 e(-\frac{q}{p}) + f = 0$
$d(\frac{q^{2}}{p^{2}}) - 2 e(\frac{q}{p}) + f = 0$
$\frac{p^{2}}{q^{2}}$ से गुणा करने पर:
$d - 2 e(\frac{p}{q}) + f(\frac{p^{2}}{q^{2}}) = 0$
चूंकि $q^{2} = pr$ है,इसलिए $\frac{p}{q} = \frac{q}{r}$ और $\frac{p^{2}}{q^{2}} = \frac{p}{r}$ है।
$d - 2 e(\frac{p}{q}) + f(\frac{p}{r}) = 0$
$p$ से भाग देने पर:
$\frac{d}{p} - 2 \frac{e}{q} + \frac{f}{r} = 0$
$\frac{d}{p} + \frac{f}{r} = 2 \frac{e}{q}$
यह सिद्ध करता है कि $\frac{d}{p}, \frac{e}{q}, \frac{f}{r}$ $A.P.$ में हैं।