यदि y = sum_{k=1}^{6} k cos^{-1} left{ frac{3 | vedclass

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Question

(B) माना $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ और $\sin \alpha = \frac{4}{5}$,जहाँ $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ है।$\cos^{-1}$ फलन के अंदर का पद $\frac{3}{5} \c

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$91$

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(B) माना $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ और $\sin \alpha = \frac{4}{5}$,जहाँ $0 $\cos^{-1}$ फलन के अंदर का पद $\frac{3}{5} \cos kx - \frac{4}{5} \sin kx$ है।त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर,हमें $\cos \alpha \cos kx - \sin \alpha \sin kx = \cos(\alpha + kx)$ प्राप्त होता है।अतः,$y = \sum_{k=1}^{6} k \cos^{-1}(\cos(\alpha + kx))$.$x$ के $0$ के निकट मानों के लिए,$\cos^{-1}(\cos(\alpha + kx)) = \alpha + kx$ होता है।इसलिए,$y = \sum_{k=1}^{6} k(\alpha + kx) = \sum_{k=1}^{6} (k\alpha + k^2 x)$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = \sum_{k=1}^{6} k^2$ प्राप्त होता है।$x = 0$ पर,$\frac{dy}{dx} = \sum_{k=1}^{6} k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2$.वर्गों के योग के सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर,$n=6$ के लिए:$\frac{6(7)(13)}{6} = 91$.

यदि $y = \sum_{k=1}^{6} k \cos^{-1} \left\{ \frac{3}{5} \cos kx - \frac{4}{5} \sin kx \right\}$ है,तो $x = 0$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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