यदि a, b, c, d धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $a, b, c, d > 0$ और $a + b + c + d = 2$ है।मान लीजिए $x = a + b$ और $y = c + d$ है। तब $x + y = 2$ होगा।हमें $M = xy$ का परिसर ज्ञा

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$0 < M \le 1$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि $a, b, c, d > 0$ और $a + b + c + d = 2$ है।मान लीजिए $x = a + b$ और $y = c + d$ है। तब $x + y = 2$ होगा।हमें $M = xy$ का परिसर ज्ञात करना है।समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य ($AM$-$GM$) असमिका के अनुसार,हम जानते हैं कि धनात्मक वास्तविक संख्याओं $x$ और $y$ के लिए,$\frac{x + y}{2} \ge \sqrt{xy}$ होता है।मान रखने पर,हमें $\frac{2}{2} \ge \sqrt{M}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $1 \ge \sqrt{M}$।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $M \le 1$ प्राप्त होता है।चूंकि $a, b, c, d$ धनात्मक हैं,इसलिए $x = a + b > 0$ और $y = c + d > 0$,अतः $M = xy > 0$ होगा।इसलिए,संतुष्ट होने वाला संबंध $0 < M \le 1$ है।

यदि $a, b, c, d$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि $a + b + c + d = 2$,तो $M = (a + b)(c + d)$ किस संबंध को संतुष्ट करता है?

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