જો alpha એ સમીકરણ x^2+x+1=0 નું બીજ હોય અને s | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે કે $\alpha$ એ $x^2+x+1=0$ નું બીજ છે,તેથી $\alpha = \omega$ અથવા $\alpha = \omega^2$,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.$\frac{1}{\omeg

Vedclass · Accepted Answer

$11$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે કે $\alpha$ એ $x^2+x+1=0$ નું બીજ છે,તેથી $\alpha = \omega$ અથવા $\alpha = \omega^2$,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.$\frac{1}{\omega} = \omega^2$ અને $\frac{1}{\omega^2} = \omega$ હોવાથી,પદ $\left(\alpha^k+\frac{1}{\alpha^k}\right)^2$ એ $\left(\omega^k+\omega^{2k}\right)^2 = \omega^{2k} + \omega^{4k} + 2\omega^{3k} = \omega^{2k} + \omega^k + 2$ માં સાદું રૂપ પામે છે.આપણે $n$ શોધવાનું છે જેથી $\sum_{k=1}^n (\omega^{2k} + \omega^k + 2) = 20$.આ $\sum_{k=1}^n \omega^{2k} + \sum_{k=1}^n \omega^k + 2n = 20$ છે.જો $n$ એ $3$ નો ગુણક હોય,ધારો કે $n=3m$,તો $\sum_{k=1}^n \omega^{2k} = 0$ અને $\sum_{k=1}^n \omega^k = 0$,તેથી $2n = 20 \Rightarrow n = 10$ ($3$ નો ગુણક નથી).જો $n = 3m+1$,તો $\sum_{k=1}^n \omega^{2k} = \omega^2$ અને $\sum_{k=1}^n \omega^k = \omega$,તેથી $\omega^2 + \omega + 2n = 20$ $\Rightarrow -1 + 2n = 20$ $\Rightarrow 2n = 21$ (પૂર્ણાંક ઉકેલ નથી).જો $n = 3m+2$,તો $\sum_{k=1}^n \omega^{2k} = \omega^2 + \omega^4 = \omega^2 + \omega = -1$ અને $\sum_{k=1}^n \omega^k = \omega + \omega^2 = -1$,તેથી $-1 - 1 + 2n = 20$ $\Rightarrow 2n = 22$ $\Rightarrow n = 11$.$11 = 3(3) + 2$ હોવાથી,આ શરત સંતોષાય છે.

જો $\alpha$ એ સમીકરણ $x^2+x+1=0$ નું બીજ હોય અને $\sum_{k=1}^n\left(\alpha^k+\frac{1}{\alpha^k}\right)^2=20$ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો $\frac{2z_1}{3z_2}$ એ શુદ્ધ કાલ્પનિક સંખ્યા હોય,તો $\left| \frac{z_1 - z_2}{z_1 + z_2} \right| =$

કિંમત શોધો: $\left| \frac{1}{2}(z_1 + z_2) + \sqrt{z_1 z_2} \right| + \left| \frac{1}{2}(z_1 + z_2) - \sqrt{z_1 z_2} \right|$

$\theta$ ના તમામ મૂલ્યોનો સમૂહ શોધો જેથી $\frac{1-i \cos \theta}{1+2 i \sin \theta}$ શુદ્ધ કાલ્પનિક સંખ્યા બને.

$\cosh (\alpha + i\beta ) - \cosh (\alpha - i\beta )$ ની કિંમત શોધો.

જો $a, b \in \mathbb{R}$ અને $i=\sqrt{-1}$ હોય,તો $(a+bi)^3 = a-bi$ શરતનું પાલન કરતી વાસ્તવિક સંખ્યાઓની ક્રમયુક્ત જોડી $(a, b)$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module