यदि alpha समीकरण x^2+x+1=0 का एक मूल है और su | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $\alpha$ समीकरण $x^2+x+1=0$ का एक मूल है,इसलिए $\alpha = \omega$ या $\alpha = \omega^2$,जहाँ $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है।

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$11$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि $\alpha$ समीकरण $x^2+x+1=0$ का एक मूल है,इसलिए $\alpha = \omega$ या $\alpha = \omega^2$,जहाँ $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है।चूंकि $\frac{1}{\omega} = \omega^2$ और $\frac{1}{\omega^2} = \omega$,व्यंजक $\left(\alpha^k+\frac{1}{\alpha^k}\right)^2$ सरल होकर $\left(\omega^k+\omega^{2k}\right)^2 = \omega^{2k} + \omega^{4k} + 2\omega^{3k} = \omega^{2k} + \omega^k + 2$ हो जाता है।हमें $n$ का मान ज्ञात करना है ताकि $\sum_{k=1}^n (\omega^{2k} + \omega^k + 2) = 20$ हो।यह $\sum_{k=1}^n \omega^{2k} + \sum_{k=1}^n \omega^k + 2n = 20$ है।यदि $n$,$3$ का गुणज है,मान लीजिए $n=3m$,तो $\sum_{k=1}^n \omega^{2k} = 0$ और $\sum_{k=1}^n \omega^k = 0$,इसलिए $2n = 20 \Rightarrow n = 10$ ($3$ का गुणज नहीं है)।यदि $n = 3m+1$,तो $\sum_{k=1}^n \omega^{2k} = \omega^2$ और $\sum_{k=1}^n \omega^k = \omega$,इसलिए $\omega^2 + \omega + 2n = 20$ $\Rightarrow -1 + 2n = 20$ $\Rightarrow 2n = 21$ (कोई पूर्णांक हल नहीं)।यदि $n = 3m+2$,तो $\sum_{k=1}^n \omega^{2k} = \omega^2 + \omega^4 = \omega^2 + \omega = -1$ और $\sum_{k=1}^n \omega^k = \omega + \omega^2 = -1$,इसलिए $-1 - 1 + 2n = 20$ $\Rightarrow 2n = 22$ $\Rightarrow n = 11$.चूंकि $11 = 3(3) + 2$,यह शर्त को संतुष्ट करता है।

यदि $\alpha$ समीकरण $x^2+x+1=0$ का एक मूल है और $\sum_{k=1}^n\left(\alpha^k+\frac{1}{\alpha^k}\right)^2=20$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

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