यदि $\frac{1}{b - c}, \frac{1}{c - a}, \frac{1}{a - b}$ एक $A.P.$ के क्रमागत पद हैं,तो $(b - c)^2, (c - a)^2, (a - b)^2$ किसमें होंगे?

मान लीजिए कि धनात्मक पूर्णांकों को इस प्रकार लिखा गया है:
$1$
$2$ $3$
$4$ $5$ $6$
$7$ $8$ $9$ $10$
यदि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $k$ के लिए $k^{\text{वीं}}$ पंक्ति में ठीक $k$ संख्याएँ हैं,तो वह पंक्ति जिसमें संख्या $5310$ होगी,है:

मान लीजिए $S_n$ एक समांतर श्रेणी $3, 7, 11, \ldots$ के प्रथम $n$ पदों का योग है। यदि $40 < \left(\frac{6}{n(n+1)} \sum_{k=1}^{n} S_{k}\right) < 42$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक बहुभुज के किन्हीं दो क्रमागत आंतरिक कोणों के बीच का अंतर $5^{\circ}$ है। यदि सबसे छोटा कोण $120^{\circ}$ है,तो बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।

दो समांतर श्रेणियों $3, 7, 11, \ldots, 407$ और $2, 9, 16, \ldots, 709$ में उभयनिष्ठ पदों की संख्या क्या है?

यदि प्रथम $n$ सम प्राकृतिक संख्याओं का योग,प्रथम $n$ विषम प्राकृतिक संख्याओं के योग का $k$ गुना है,तो $k = ........$